a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) = 1

已知 $a$、$b$、$c$ 三數為實數，且
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1$，求

$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}$ 之值。

半圓內相等的圓周角問題

如圖，半圓中 O 為圓心，C 點在直徑 $\overline{AB}$ 上，D、E 在圓上
$\angle DOA=40^{\circ}$ ， $\angle CDO=\angle CEO=15^{\circ}$ ，
求 $\overparen{BE}$

乘積整除平方和

(1) 求證：有理數 $x$ 與 $x$ 的倒數之和為整數，則 $x=\pm 1$

(2) $a$、$b$ 是兩個 1 到 9 的整數，而且 $ab$ 整除 $a^2+b^2$，
求 $10a+b$ 被 11 除的餘數。

等腰三角形內與兩腰相切的半圓

如圖，等腰三角形 ABC 中，$\overline{AB}=\overline{AC}$
以底邊 $\overline{BC}$ 中點 O 為圓心，作與兩腰相切的半圓，
且 D、E 分別在兩腰上，$\overline{DE}$ 也與半圓相切，
已知 $\overline{DB}=18$ 、 $\overline{EC}=8$，

求 $\overline{BC}$ 長。

$\left (\frac{21}{n}-2\right )^2-2\left (\frac{21}{n}-2\right )=n+42$ 之解

n 為整數且滿足 $\left (\frac{21}{n}-2\right )^2-2\left (\frac{21}{n}-2\right )=n+42$
試求 n 之值？

六水瓶重量問題

有 6 瓶裝滿水的水瓶，分別裝著三種水：糖水、鹽水、純水，
一瓶只裝一種水，但是從外觀上無法知道內容物為何，已知：

[1] 六瓶的重量分別為 15公斤、16公斤、18公斤、19公斤、20公斤、31公斤
[2] 糖水總重是純水的一半
[3] 鹽水只有1瓶

問：
(1) 鹽水重多少公斤？
(2) 18公斤的水瓶裝著哪一種水？

相交弦與圓上點到弦的距離比

圓上有 4 點 A、B、C、D，且 $\overline{AC}$ 與 $\overline{BD}$ 交於 E 點，$\overline{AB}=2$、$\overline{AC}=9$、$\overline{BD}=8$、$\overline{CD}=4$，分別以 A、D 兩點為圓心作與 $\overline{BC}$ 相切的兩圓，問半徑比 $R_A : R_D$ 為多少。

等腰三角形底邊某點的分線段乘積

已知等腰三角形 ABC 中， $\overline{AB}=\overline{AC}=6$ ，
底邊 $\overline{BC}$ 上有一點 D，且 $\overline{AD}=4$，
求 $\overline{BD}\times\overline{CD}$

$x^3+y^3$ 與 $(x+y)(x+1)(y+1)$

已知 $x$，$y$ 兩實數滿足 $x^3+y^3=1957$，
而且也滿足 $(x+y)(x+1)(y+1)=2014$，

求 $x+y$ 的值。

內心是對三邊作對稱後三點所成三角形的外心

I 是 $\bigtriangleup ABC$ 的內心，
若 D、E、F 分別為 I 以 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{CA}$ 為對稱軸的對稱點，

求證：I 是 $\bigtriangleup DEF$ 的外心。

邊長連續三整數，最大角是最小角的兩倍

$\bigtriangleup ABC$ 三邊為連續正整數，如圖：
$\overline{BC}=x$ ， $\overline{AB}=x+1$ ， $\overline{CA}=x+2$，
且 $\angle B=2 \angle A$，求三邊長。

連續三邊等長的圓內接六邊形之對角線問題

如圖，ABCDEF 是圓內接六邊形，
已知 $\overline{AF}=\overline{FE}=\overline{ED}=3$ ，
$\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=5$ ，

求 對角線 $\overline{AD}$ 長。

菱形旋轉重疊面積問題

對角線長 20 和 30 的菱形，以對角線交點的中心為圓心旋轉 $90^{\circ}$，如圖，

求凸出去的陰影面積為多少平方單位？

$2001^{2001} + 2003^{2003}$ 被 4004 整除

求證：$2001^{2001} + 2003^{2003}$ 能被 4004 整除。

平面上與斜直線和兩軸相切的圓

直角座標平面上有直線 $L: 3x+4y=12$，求：

與 L、x 軸、y 軸相切的圓之圓心座標。

已知內部一點到三頂點的距離，求正方形面積

正方形 ABCD 內有一點 P，已知 $\overline{PA}=1$ ，$\overline{PB}=5$ ，$\overline{PC}=7$ ，

求正方形 ABCD 的面積。

雨天與晴天的工程問題

甲乙兩人各做一件工程，如果全是晴天，甲需要 12 天可完成，乙需要 15 天可完成。已知雨天時甲的工作效率比晴天減少 40% ，乙減少 10% 。

若兩人同時開工，恰好同時結束，請問這段時間內有幾天是雨天？

三個正方形相連的角度問題

如圖，三個正方形相連，連接 $\overline{BE}$、$\overline{BF}$、$\overline{BD}$，
求 $\angle FBC+\angle DBC$ 度數為何？

給物使成為兩倍

甲、乙、丙三箱內共有小球384個，先由甲箱取出若干個放進乙箱、丙箱內，所放之數量分別為乙、丙原有之數；再來從乙箱取出若干個放進甲、丙二箱內，使甲、丙的球數成為原來的兩倍；最後由丙箱取出若干個放進甲、乙二箱內，放法同前，結果三箱內小球個數恰好相等。

問甲、乙、丙箱內原有小球各多少個？

兩圓交於兩點，割線為另一圓的切線之問題

有兩圓 $O_1$、$O_2$ 相交於 A、B 兩點，
若 $\overline{DE}$ 切圓 $O_1$ 於 A 點，$\overline{BE}$ 切圓 $O_2$ 於 B 點，
已知 $\overline{ED}=27$，$\overline{EC}=8$，

問圓 $O_1$ 與圓 $O_2$ 的半徑比值為何？

小圓繞大圓轉，會轉動幾圈

如圖，大圓與小圓半徑比為 2:1，若大圓固定不動，小圓緊貼著大圓外切，不滑行繞行大圓一圈回到原位置，問：

小圓轉了幾圈？

垂心是三邊上垂足連線三角形的內心

$\bigtriangleup ABC$ 中，H 為垂心，$\overline{AE}\perp\overline{BC}$，$\overline{BF}\perp\overline{CA}$，$\overline{CD}\perp\overline{AB}$，則
H 為 $\bigtriangleup DEF$ 的內心。

商數與餘數相同

某正整數除以 14 得到的商數和餘數相同，而且該數除以 35 得到的商數與餘數也相同，求該正整數最小為多少？

給定兩圓心座標與半徑得公切線交點

已知兩圓 A 和 B，圓心座標分別為 $A\left (-11, 7\right )$ 和 $B\left (5, 19\right )$，且半徑分別為 2 和 6，求外公切線交點 C、內公切線的交點 D 的座標。

長方形內切兩個外切的圓與兩圓半徑之和

艾瑪在整理房間，她將兩個圓桶收在長方體紙箱中，如果從上往下看的俯視圖，恰好是兩個圓形相外切，並內切於長方形內，已知紙箱的底部是長27公分、寬24公分的矩形，求兩個圓桶底面的圓半徑之和是多少公分。

兩個二次函數圖形與正方形

如圖，$C_1: y=x^2$ 和 $C_2: y=\frac{1}{4} x^2$ 兩個二次函數圖形上有三點 A,B,D，另有一點 C。若 ABCD 是邊長與兩軸平行的正方形，求 A 點座標。

多項式形式的求值問題

求： $$2\times 17^5 - 35 \times 17^4 + 20\times 17^3 - 50\times 17^2 - 22\times 17 + 55$$

直角三角形中，內心到三頂點距離之乘積

直角三角形 ABC 中，$\angle C=90^{\circ}$，
內心 I 切三角形三邊於 P,Q,R，
設三邊長 $\overline{BC}=a$ ， $\overline{CA}=b$ ， $\overline{AB}=c$，
內心到三頂點距離 $\overline{IA}=x$ ， $\overline{IB}=y$ ， $\overline{IC}=z$，
內切圓半徑 $=\overline{CQ}=\overline{CR}=r$ ，求證：

$\overline{IA}\times\overline{IB}\times\overline{IC}=xyz=2cr^2$

外切兩圓之外公切線長與兩半徑公式

外切的兩圓 A 與 B，半徑分別為 $a$ 和 $b$，$\overleftrightarrow{PQ}$ 為外公切線，
P、Q 為切點，且兩圓外切於 C 點，

求證：外公切線長 $\overline{PQ}=2 \sqrt{ab}$

內切圓與直角三角形之斜邊分線段的討論

直角三角形ABC中，$\angle C=90^{\circ}$，
內切圓 I 切三邊於P, Q, R，
則 $\bigtriangleup ABC=\overline{PA}\times \overline{PB}$

對角兩直角、給定面積的四邊形求兩股和

【題目】

如圖，$\angle A= \angle C = 90^{\circ}$，$\overline{AB}=\overline{AD}$，
且四邊形 ABCD 的面積為9，
則 $\overline{BC}+\overline{CD}$為多少？

海龍公式 (Heron's formula) 與內心旁心證明

［海龍公式 ( Heron's fomula, Hero's fomula )］

△ABC中，$\overline{BC}=a$，$\overline{CA}=b$，$\overline{AB}=c$， 令 $p=\frac{a+b+c}{2}$，

則△ABC = $\sqrt{p (p-a)(p-b)(p-c)}$

LaTeX測試

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$$\LaTeX$$
$$\frac{1}{2}$$ $\frac{1}{2}$
${\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}$
$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}$