已知內部一點到三頂點的距離，求正方形面積

正方形 ABCD 內有一點 P，已知 $\overline{PA}=1$ ，$\overline{PB}=5$ ，$\overline{PC}=7$ ，

求正方形 ABCD 的面積。

【解】

作正方形 ABCD 並內部取一點 P 並連接 $\overline{PA},\overline{PB}, \overline{PC}, \overline{PD}$

P 在矩形 ABCD 內則有 $$\overline{PA}^2 + \overline{PC}^2 =\overline{PB}^2 + \overline{PD}^2$$ 則 $$1^2+7^2=5^2+\overline{PD}^2$$ $$\Rightarrow \overline{PD}=\sqrt{1^2+7^2-5^2}=5$$ 在 $\bigtriangleup PAB$ 和 $\bigtriangleup PAD$ 中，
$\overline{PA}=\overline{PA}$ (共用)
$\overline{AB}=\overline{AD}$ (正方形)
$\overline{PB}=\overline{PD}=5$
$\Rightarrow \bigtriangleup PAB\cong\bigtriangleup PAD$ ，得 $\angle PAB=\angle PAD=45^{\circ}$

同理 $\bigtriangleup PCB\cong\bigtriangleup PCD$ ，得 $\angle PCB=\angle PCD=45^{\circ}$

故 P 點在正方形對角線 $\overline{AC}$ 上，圖形應該為：

正方形對角線長 $\overline{AC}=\overline{PA}+\overline{PC}=1+7=8$ ，

ABCD 面積為 $8\times 8\div 2=32$

【思考】

這題算常見的競賽題，但是出法其實很困擾，如果把圖形畫得太正確，看出 P 其實在對角線上，這題就過於簡單；如果畫得有誤差，又會被嫌題目誤導，就如一開始畫的那張一樣。我個人覺得用敘述的出題法比較好，也可訓練草圖不要過於特化，還有求證 A, P, C 三點共線的過程也很重要。