內切圓 I 切三邊於P, Q, R,
則 △ABC=¯PAׯPB

【解1:代數證明】 圓外一點對圓之兩切線等長,設
¯PA=¯RA=x
¯PB=¯QB=y
¯QC=¯RC=r |
![]() |
(x+r)2+(y+r)2=(x+y)2
x2+2xr+r2+y2+2yr+r2=x2+2xy+y2
xr+yr+r2=xy
又 I 為 △ABC 內心,面積可由內切圓半徑與周長求得
△ABC=12×r×(¯AB+¯BC+¯CA)
=12×r×(x+y+y+r+r+x)
=xr+yr+r2
=xy
=¯PAׯPB
得證。
【解2:幾何證明】
延長 ↔IQ 和 ↔IR, 作 ↔AE⊥↔IQ 與 ↔BF⊥↔IR,
設 ↔AE,↔BF 交於 D 點,則 AEIR、BFIQ、DEIF、ADBC 皆為矩形


∠IMP=∠AME (對頂角相同)
∠MPI=∠MEA=90∘
¯IP=¯IQ=¯AE
⇒△MPI≅△MEA(AAS)
同理,△NPI≅△NFB
則 △MNI=△MEA+△NFB


得
△ABC=12ADBC
=AEIFBC=EDFI
=¯IEׯIF
=¯RAׯQB
=¯PAׯPB |
![]() |
得證。
【解3:利用平方差公式展開】

設兩股為 ¯AC=a、 ¯BC=b,則斜邊 ¯AB=√a2+b2,
且內切圓半徑 ¯CR=¯CQ=¯AC+¯BC−¯AB2=a+b−√a2+b22
⇒¯AR=¯AP=a−a+b−√a2+b22
=2a−a−b+√a2+b22=√a2+b2+(a−b)2
¯BQ=¯BP=b−a+b−√a2+b22
=2b−a−b+√a2+b22=√a2+b2−(a−b)2
⇒¯APׯBP=√a2+b2+(a−b)2×√a2+b2−(a−b)2
=(√a2+b2)2−(a−b)24
=a2+b2−a2+2ab−b24
=12ab=△ABC
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