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2016/9/10

內切圓與直角三角形之斜邊分線段的討論

直角三角形ABC中,C=90
內切圓 I 切三邊於P, Q, R,
ABC=¯PAׯPB

【解1:代數證明】 圓外一點對圓之兩切線等長,設

¯PA=¯RA=x
¯PB=¯QB=y
¯QC=¯RC=r
由畢氏定理列出
(x+r)2+(y+r)2=(x+y)2
x2+2xr+r2+y2+2yr+r2=x2+2xy+y2
xr+yr+r2=xy
又 I 為 ABC 內心,面積可由內切圓半徑與周長求得 ABC=12×r×(¯AB+¯BC+¯CA)
=12×r×(x+y+y+r+r+x)
=xr+yr+r2
=xy
=¯PAׯPB

得證。

【解2:幾何證明】

延長 IQIR, 作 AEIQBFIR
AE,BF 交於 D 點,則 AEIR、BFIQ、DEIF、ADBC 皆為矩形

MPIMEA 中,
IMP=AME (對頂角相同)
MPI=MEA=90
¯IP=¯IQ=¯AE
⇒△MPI≅△MEA(AAS)

同理,NPI≅△NFB
MNI=△MEA+NFB

ABC 面積 = L形多邊形 AEIFBC 面積,又 \bigtriangleupABC=12 ADBC 面積,

ABC=12ADBC
=AEIFBC=EDFI
=¯IEׯIF
=¯RAׯQB
=¯PAׯPB

得證。

【解3:利用平方差公式展開】

設兩股為 ¯AC=a¯BC=b,則斜邊 ¯AB=a2+b2
且內切圓半徑 ¯CR=¯CQ=¯AC+¯BC¯AB2=a+ba2+b22 ¯AR=¯AP=aa+ba2+b22

=2aab+a2+b22=a2+b2+(ab)2
¯BQ=¯BP=ba+ba2+b22
=2bab+a2+b22=a2+b2(ab)2

¯APׯBP=a2+b2+(ab)2×a2+b2(ab)2

=(a2+b2)2(ab)24
=a2+b2a2+2abb24
=12ab=△ABC

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