內切圓與直角三角形之斜邊分線段的討論

直角三角形ABC中，$\angle C=90^{\circ}$，
內切圓 I 切三邊於P, Q, R，
則 $\bigtriangleup ABC=\overline{PA}\times \overline{PB}$

【解1：代數證明】 圓外一點對圓之兩切線等長，設

\[\overline{PA}=\overline{RA}=x\] \[\overline{PB}=\overline{QB}=y\] \[\overline{QC}=\overline{RC}=r\]

由畢氏定理列出
\[(x+r)^2 +(y+r)^2 = (x+y)^2\] \[x^2+2xr+r^2+y^2+2yr+r^2=x^2+2xy+y^2\] \[xr+yr+r^2=xy\] 又 I 為 $\bigtriangleup ABC$ 內心，面積可由內切圓半徑與周長求得 \[△ABC=\frac{1}{2} \times r \times (\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CA})\] \[=\frac{1}{2}\times r \times (x+y+y+r+r+x)\] \[=xr+yr+r^2\] \[=xy\] \[=\overline{PA}\times\overline{PB}\]

得證。

【解2：幾何證明】

延長 $\overleftrightarrow{IQ}$ 和 $\overleftrightarrow{IR}$， 作 $\overleftrightarrow{AE}\perp \overleftrightarrow{IQ}$ 與 $\overleftrightarrow{BF}\perp\overleftrightarrow{IR}$，
設 $\overleftrightarrow{AE}, \overleftrightarrow{BF}$ 交於 D 點，則 AEIR、BFIQ、DEIF、ADBC 皆為矩形

在 $\bigtriangleup MPI$ 與 $\bigtriangleup MEA$ 中，
$\angle IMP=\angle AME$ (對頂角相同)
$\angle MPI=\angle MEA=90^{\circ}$
$\overline{IP}=\overline{IQ}=\overline{AE}$
$\Rightarrow \bigtriangleup MPI \cong \bigtriangleup MEA $(AAS)

同理，$\bigtriangleup NPI \cong \bigtriangleup NFB$
則 $\bigtriangleup MNI = \bigtriangleup MEA + \bigtriangleup NFB$

$\bigtriangleup ABC$ 面積 = L形多邊形 AEIFBC 面積，又 $\bigtriangleupABC=\frac{1}{2}$ ADBC 面積，

得 \[\bigtriangleup ABC=\frac{1}{2} ADBC\] \[=AEIFBC = EDFI\] \[=\overline{IE}\times\overline{IF}\] \[=\overline{RA}\times\overline{QB}\] \[=\overline{PA}\times\overline{PB}\]

得證。

【解3：利用平方差公式展開】

設兩股為 $\overline{AC}=a$、 $\overline{BC}=b$，則斜邊 $\overline{AB}=\sqrt{a^2+b^2}$，
且內切圓半徑 $\overline{CR}=\overline{CQ}=\frac{\overline{AC}+\overline{BC}-\overline{AB}}{2}=\frac{a+b-\sqrt{a^2+b^2}}{2}$ \[\Rightarrow \overline{AR}=\overline{AP}=a-\frac{a+b-\sqrt{a^2+b^2}}{2}\] \[=\frac{2a-a-b+\sqrt{a^2+b^2}}{2}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}+(a-b)}{2}\] \[\overline{BQ}=\overline{BP}=b-\frac{a+b-\sqrt{a^2+b^2}}{2}\] \[=\frac{2b-a-b+\sqrt{a^2+b^2}}{2}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}-(a-b)}{2}\]

\[\Rightarrow\overline{AP}\times\overline{BP}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}+(a-b)}{2}\times\frac{\sqrt{a^2+b^2}-(a-b)}{2}\] \[=\frac{\left (\sqrt{a^2+b^2}\right )^2-(a-b)^2}{4}\] \[=\frac{a^2+b^2-a^2+2ab-b^2}{4}\] \[=\frac{1}{2}ab=\bigtriangleup ABC\]