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2016/10/2

給物使成為兩倍

甲、乙、丙三箱內共有小球384個,先由甲箱取出若干個放進乙箱、丙箱內,所放之數量分別為乙、丙原有之數;再來從乙箱取出若干個放進甲、丙二箱內,使甲、丙的球數成為原來的兩倍;最後由丙箱取出若干個放進甲、乙二箱內,放法同前,結果三箱內小球個數恰好相等。

問甲、乙、丙箱內原有小球各多少個?

【三元一次方程】

設(甲, 乙, 丙) = (a,b,c),第一步甲箱給乙和丙,故乙箱得到 b 個,丙箱得到 c 個,表示甲箱少了 (b+c) 個,得第一步結束後

=a(b+c)=abc

=2b

=2c

第二步是乙箱給甲和丙,甲會變為 (abc) 的2倍,丙變為 2c 的兩倍,而乙少了 (abc)2c

=2(abc)=2a2b2c

=2b(abc)2c=a+3bc

=2c×2=4c

最後一步是丙給甲和乙,甲箱變為 (2a2b2c) 的2倍,乙箱變為 (a+3bc) 的2倍,丙少了 (2a2b2c)(a+3bc)

=2(2a2b2c)=4a4b4c

2(a+3bc)=2a+6b2c

4c(2a2b2c)(a+3bc)=ab+7c

最後三箱個數皆相同,皆為 384÷3=128,得聯立方程式 {4a4b4c=1282a+6b2c=128ab+7c=128 {abc=32a3b+c=64ab+7c=128 {2a4b=326a8b=352 {a=208b=112c=64 得甲箱有 208 個,乙箱有 112 個,丙箱有 64 個。

【還原逆推】

從最後三箱都相同得 (128,128,128) 第三步是丙給甲和乙,使甲和乙成為 2 倍,故第二步結束時三箱為 (128÷2,128÷2,128+64+64) =(64,64,256) 第二步是乙給甲和丙,使甲和丙成為 2 倍,故第一步結束時三箱為 (64÷2,64+32+128,256÷2) =(32,224,128) 第一步是甲給乙和丙,使乙和丙成為 2 倍,故最開始三箱為 (32+112+64,224÷2,128÷2) =(208,112,64)

【思考】

這題目出現在小學資優與中一的聯立方程式,當然資優數學的還原法是較容易且簡潔的,不過中一用解三元一次聯立方程式也是很好的練習,同時也練習代數式的化簡。

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