給物使成為兩倍

甲、乙、丙三箱內共有小球384個，先由甲箱取出若干個放進乙箱、丙箱內，所放之數量分別為乙、丙原有之數；再來從乙箱取出若干個放進甲、丙二箱內，使甲、丙的球數成為原來的兩倍；最後由丙箱取出若干個放進甲、乙二箱內，放法同前，結果三箱內小球個數恰好相等。

問甲、乙、丙箱內原有小球各多少個？

【三元一次方程】

設(甲, 乙, 丙) = $(a,b,c)$，第一步甲箱給乙和丙，故乙箱得到 b 個，丙箱得到 c 個，表示甲箱少了 $(b+c)$ 個，得第一步結束後

甲 $=a-(b+c)=a-b-c$

乙 $=2b$

丙 $=2c$

第二步是乙箱給甲和丙，甲會變為 $(a-b-c)$ 的2倍，丙變為 $2c$ 的兩倍，而乙少了 $(a-b-c)$ 和 $2c$ 個

甲 $=2(a-b-c)=2a-2b-2c$

乙 $=2b-(a-b-c)-2c=-a+3b-c$

丙 $=2c\times 2=4c$

最後一步是丙給甲和乙，甲箱變為 $(2a-2b-2c)$ 的2倍，乙箱變為 $(-a+3b-c)$ 的2倍，丙少了 $(2a-2b-2c)$ 和 $(-a+3b-c)$ 個

甲 $=2(2a-2b-2c)=4a-4b-4c$

乙 $2(-a+3b-c)=-2a+6b-2c$

丙 $4c-(2a-2b-2c)-(-a+3b-c)=-a-b+7c$

最後三箱個數皆相同，皆為 $384\div 3=128$，得聯立方程式 \[\left\{\begin{matrix} 4a-4b-4c=128\\ -2a+6b-2c=128\\ -a-b+7c=128 \end{matrix}\right.\] \[\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-b-c=32\\ a-3b+c=-64\\ -a-b+7c=128 \end{matrix}\right.\] \[\Rightarrow\left\{\begin{matrix} 2a-4b=-32\\ 6a-8b=352 \end{matrix}\right.\] \[\Rightarrow\left\{\begin{matrix} a=208\\ b=112\\ c=64 \end{matrix}\right.\] 得甲箱有 208 個，乙箱有 112 個，丙箱有 64 個。

【還原逆推】

從最後三箱都相同得 \[(128,128,128)\] 第三步是丙給甲和乙，使甲和乙成為 2 倍，故第二步結束時三箱為 \[(128\div 2, 128\div 2, 128+64+64)\] \[=(64,64,256)\] 第二步是乙給甲和丙，使甲和丙成為 2 倍，故第一步結束時三箱為 \[(64\div 2, 64+32+128, 256\div 2)\] \[=(32, 224, 128)\] 第一步是甲給乙和丙，使乙和丙成為 2 倍，故最開始三箱為 \[(32+112+64,224\div 2, 128\div 2)\] \[=(208, 112, 64)\]

【思考】

這題目出現在小學資優與中一的聯立方程式，當然資優數學的還原法是較容易且簡潔的，不過中一用解三元一次聯立方程式也是很好的練習，同時也練習代數式的化簡。