多項式形式的求值問題

求： \[2\times 17^5 - 35 \times 17^4 + 20\times 17^3 - 50\times 17^2 - 22\times 17 + 55\]

【多項式與餘式定理解法】

令$f(x)=2x^5-35x^4+20x^3-50x^2-22x+55$，
考慮 $f(x)\div(x-17)$ 的商式與餘式，以長除法或綜合除法

得 $f(x)\div (x-17)=(2x^4 -x^3 +3x^2 +x -5 )...(-30)$

\[\Rightarrow f(x)=2x^5-35x^4+20x^3-50x^2-22x+55\] \[=(x-17)(2x^4 -x^3 +3x^2 +x -5 )+(-30)\] 所求即 $f(17)$ \[\Rightarrow f(17)=2\times 17^5-35\times 17^4+20\times 17^3-50\times 17^2-22\times 17+55\] \[=(17-17)(2\times 17^4 -17^3 +3\times 17^2 +17 -5 )+(-30)\] \[=-30\]

【指數律分配律降次解法】

\[2\times 17^5 - 35 \times 17^4 + 20\times 17^3 - 50\times 17^2 - 22\times 17 + 55\] \[=(2\times 17-35)\times 17^4 + 20\times 17^3 - 50\times 17^2 - 22\times 17 + 55\] \[=(-1)\times 17^4 + 20\times 17^3 - 50\times 17^2 - 22\times 17 + 55\] \[=(-1\times 17 + 20)\times 17^3 - 50\times 17^2 - 22\times 17 + 55\] \[=3\times 17^3 - 50\times 17^2 - 22\times 17 + 55\] \[=(3\times 17 - 50)\times 17^2 - 22\times 17 + 55\] \[=17^2 - 22\times 17 + 55\] \[=(17-22)\times 17 + 55\] \[=(-5)\times 17 + 55\] \[=-30\]

【思考】

此題是高一多項式的基本題目，也會在中二以難題出現，除法原理和餘式定理的解法是標準作法，也是大部份老師與學生的解法，但第二種的分配律作法可以在中一就出現，除了考驗指數律的熟練度，也可以拿來與長除法或綜合除法比較，其實每次分配律抽出來剩下的數，就是長除法中每一層的數，兩相比較很有意思。