2016/9/14

多項式形式的求值問題

求: 2×17535×174+20×17350×17222×17+55


【多項式與餘式定理解法】

f(x)=2x535x4+20x350x222x+55
考慮 f(x)÷(x17) 的商式與餘式,以長除法或綜合除法

f(x)÷(x17)=(2x4x3+3x2+x5)...(30)

f(x)=2x535x4+20x350x222x+55

=(x17)(2x4x3+3x2+x5)+(30)
所求即 f(17) f(17)=2×17535×174+20×17350×17222×17+55
=(1717)(2×174173+3×172+175)+(30)
=30

【指數律分配律降次解法】

2×17535×174+20×17350×17222×17+55

=(2×1735)×174+20×17350×17222×17+55
=(1)×174+20×17350×17222×17+55
=(1×17+20)×17350×17222×17+55
=3×17350×17222×17+55
=(3×1750)×17222×17+55
=17222×17+55
=(1722)×17+55
=(5)×17+55
=30

【思考】

此題是高一多項式的基本題目,也會在中二以難題出現,除法原理和餘式定理的解法是標準作法,也是大部份老師與學生的解法,但第二種的分配律作法可以在中一就出現,除了考驗指數律的熟練度,也可以拿來與長除法或綜合除法比較,其實每次分配律抽出來剩下的數,就是長除法中每一層的數,兩相比較很有意思。

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