給定兩圓心座標與半徑得公切線交點

已知兩圓 A 和 B，圓心座標分別為 $A\left (-11, 7\right )$ 和 $B\left (5, 19\right )$，且半徑分別為 2 和 6，求外公切線交點 C、內公切線的交點 D 的座標。

【解】

作外公切線與連心線，
$\because \overline{CA}$ 與 $\overline{CB}$ 都平分外公切線的夾角
$\therefore$ C、A、B 三點共線。
設外公切線分別切兩圓於 P、Q 兩點，連接 $\overline{AP}$ 和 $\overline{BQ}$。

在 $\bigtriangleup CAP$ 和 $\bigtriangleup CBQ$ 中，
$\angle ACP=\angle BCQ$ （共用）
$\angle APC=\angle BQC=90^{\circ}$
$\Rightarrow \bigtriangleup CAP\sim\bigtriangleup CBQ$，

$\overline{CA}:\overline{CB}=\overline{AP}:\overline{BQ}=2:6=1:3$
$\Rightarrow \overline{AC}:\overline{AB}=1:2$

設 $C\left (x, y\right )$，由分點公式得： $$\frac{x\times 2 + 5\times 1}{1+2}=-11$$ $$\Rightarrow x= -19$$ 與 $$\frac{y\times 2 + 19\times 1}{1+2}=7$$ $$\Rightarrow y= 1$$ 得 $C\left ( -19, 1\right )$

作內公切線並設切兩圓於 R、S 兩點。
$\because\overline{DA}$ 和 $\overline{DB}$ 都平分內公切線的夾角
$\therefore$ A、D、B 三點共線。連接 $\overline{AR}$ 和 $\overline{BS}$。

在 $\bigtriangleup DAR$ 和 $\bigtriangleup DBS$ 中，
$\angle ADR=\angle BDS$ （對頂角）
$\angle ARD=\angle BSD=90^{\circ}$
$\Rightarrow \bigtriangleup DAR\sim\bigtriangleup DBS$，

$\overline{DA}:\overline{DB}=\overline{AR}:\overline{BS}=2:6=1:3$

設 $D\left (m, n\right )$，由分點公式得： $$m=\frac{-11\times 3 + 5\times 1}{1+3}=-7$$ 與 $$n=\frac{7\times 3 + 19\times 1}{1+3}=10$$ 得 $D\left ( -7, 10\right )$

【思考】

這種題目最早是在日本的中学数学問題集看到的，最簡單的型式是兩圓心座標為 (0,12) 和 (16,0)，半徑 1:2，只求外公切線交點，這種解法更簡單，因為會得到 1:1 再用中點公式即可，我是將同樣觀念延伸求內公切線交點，並湊數字以分點公式求解。