$x^3+y^3$ 與 $(x+y)(x+1)(y+1)$

已知 $x$，$y$ 兩實數滿足 $x^3+y^3=1957$，
而且也滿足 $(x+y)(x+1)(y+1)=2014$，

求 $x+y$ 的值。

【解】

\[\left\{\begin{matrix} x^3+y^3=1957 \\ (x+y)(x+1)(y+1)=2014 \end{matrix}\right.\] \[\Rightarrow\left\{\begin{matrix} (x+y)^3-3xy(x+y)=1957\\ (x+y)(xy+x+y+1)=2014 \end{matrix}\right.\]

令 $a=x+y$ ， $b=xy$，則 \[\left\{\begin{matrix} a^3-3ba=1957\\ a(b+a+1)=2014 \end{matrix}\right.\] \[\left\{\begin{matrix} a^3-3ab=1957\\ ab+a^2+a=2014 \end{matrix}\right.\] 下式得 $ab=2014-a^2-a$ ，將之代入上式 \[\Rightarrow a^3-3(2014-a^2-a)=1957\] \[a^3+3a^2+3a=1957+2014\times 3=7999\] \[a^3+3a^2+3a+1=8000\] \[\Rightarrow (a+1)^3=8000\] \[a+1=20\] \[a=x+y=19\]