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2016/11/27

相交弦與圓上點到弦的距離比

圓上有 4 點 A、B、C、D,且 ¯AC¯BD 交於 E 點,¯AB=2¯AC=9¯BD=8¯CD=4,分別以 A、D 兩點為圓心作與 ¯BC 相切的兩圓,問半徑比 RA:RD 為多少。

【解1:求出各線段長利用平行線截等比例線段】

EABEDC
EBA=12AD=ECD
同理 EAB=EDC
⇒△EAB∼△EDC(AA)

¯EA:¯ED=¯EB:¯EC=¯AB:¯DC=2:4=1:2
¯EA=x¯ED=2x¯EB=y¯EC=2y {¯AC=x+2y=9¯BD=2x+y=8 x=73,y=103

¯EB=103,¯EC=203 如下圖,作 ¯EH¯BC,設圓 A 、圓 D 與 ¯BC 的切點為 P、Q,連 ¯AP¯DQ

¯AP¯EH¯DQ

¯EH=x,在 CAP
¯EH:¯AP=¯CE:¯CA x:RA=203:9 xRA=2027...(1)

BDQ
¯EH:¯DQ=¯BE:¯BD x:RD=103:8 xRD=512...(2)

(2)÷(1)xRD÷xRA=512÷2027 RARD=916

【解2:12absinθ 觀念的外角三角形相似】

¯BF¯AC¯CG¯BD

BAFCDG
CAB=BDC (等弧的圓周角)
BAF=CDG
F=G=90
⇒△BAF∼△CDG(AA) ¯BF:¯CG=¯BA:¯CD=2:4=1:2¯BF=h¯CG=2h

ABC:△DBC =12ׯBCׯAP:12ׯBCׯDQ =12ׯACׯBF:12ׯBDׯCG ¯AP:¯DQ=(¯ACׯBF):(¯BDׯCG) =9×h:8×2h=9:16 RA:RD=9:16

【解3:外接圓半徑與三角形面積】

設 A、B、C、D 外接圓的圓心為 O,連接 AO 交圓 O 於 S 點,則 ABS=90
設圓 A 切 ¯BC 於 P 點,連接 ¯AP

CAPSAB
ACP=12AB=ASB
APC=ABS=90

⇒△CAP∼△SAB(AA)

¯AP:¯AB=¯AC:¯AS ¯AP=¯ACׯAB¯AS=9×2¯AS...(3)

連接 DO 交圓 O 於 T 點,則 DCT=90,設圓 D 切 ¯BC 於 Q 點,連接 ¯DQ

BDQTDC
DBQ=12CD=DTC
DQB=DCT=90

⇒△BDQ∼△TDC(AA)

¯DQ:¯DC=¯DB:¯DT ¯DQ=¯DBׯDC¯DT=8×4¯DT...(4) 由 (*3) (*4) 又 ¯AS=¯DT 為圓直徑,得 ¯AP:¯DQ=9×2¯AS:8×4¯DT=(9×2):(8×4)=9:16 RA:RD=9:16

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