
【解1:求出各線段長利用平行線截等比例線段】
在 △EAB 和 △EDC 中
∠EBA=12⏜AD=∠ECD
同理 ∠EAB=∠EDC
⇒△EAB∼△EDC(AA)

¯EA:¯ED=¯EB:¯EC=¯AB:¯DC=2:4=1:2
設 ¯EA=x,¯ED=2x,¯EB=y,¯EC=2y
{¯AC=x+2y=9¯BD=2x+y=8
⇒x=73,y=103
¯EB=103,¯EC=203 如下圖,作 ¯EH⊥¯BC,設圓 A 、圓 D 與 ¯BC 的切點為 P、Q,連 ¯AP、¯DQ
⇒¯AP∥¯EH∥¯DQ

設 ¯EH=x,在 △CAP 中
¯EH:¯AP=¯CE:¯CA
x:RA=203:9
⇒xRA=2027...(∗1)
在 △BDQ 中
¯EH:¯DQ=¯BE:¯BD
x:RD=103:8
⇒xRD=512...(∗2)
(∗2)÷(∗1) 得 xRD÷xRA=512÷2027 ⇒RARD=916
【解2:12absinθ 觀念的外角三角形相似】
作 ¯BF⊥¯AC 和 ¯CG⊥¯BD
∠CAB=∠BDC (等弧的圓周角)
⇒∠BAF=∠CDG
又 ∠F=∠G=90∘
⇒△BAF∼△CDG(AA) ¯BF:¯CG=¯BA:¯CD=2:4=1:2 設 ¯BF=h 和 ¯CG=2h

【解3:外接圓半徑與三角形面積】
設 A、B、C、D 外接圓的圓心為 O,連接 ↔AO 交圓 O 於 S 點,則 ∠ABS=90∘,
設圓 A 切 ¯BC 於 P 點,連接 ¯AP

在 △CAP 和 △SAB 中
∠ACP=12⏜AB=∠ASB
∠APC=∠ABS=90∘
⇒△CAP∼△SAB(AA)
¯AP:¯AB=¯AC:¯AS ⇒¯AP=¯ACׯAB¯AS=9×2¯AS...(∗3)
連接 ↔DO 交圓 O 於 T 點,則 ∠DCT=90∘,設圓 D 切 ¯BC 於 Q 點,連接 ¯DQ

在 △BDQ 和 △TDC 中
∠DBQ=12⏜CD=∠DTC
∠DQB=∠DCT=90∘
⇒△BDQ∼△TDC(AA)
¯DQ:¯DC=¯DB:¯DT ⇒¯DQ=¯DBׯDC¯DT=8×4¯DT...(∗4) 由 (*3) (*4) 又 ¯AS=¯DT 為圓直徑,得 ¯AP:¯DQ=9×2¯AS:8×4¯DT=(9×2):(8×4)=9:16 ⇒RA:RD=9:16
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