相交弦與圓上點到弦的距離比

圓上有 4 點 A、B、C、D，且 $\overline{AC}$ 與 $\overline{BD}$ 交於 E 點，$\overline{AB}=2$、$\overline{AC}=9$、$\overline{BD}=8$、$\overline{CD}=4$，分別以 A、D 兩點為圓心作與 $\overline{BC}$ 相切的兩圓，問半徑比 $R_A : R_D$ 為多少。

【解1：求出各線段長利用平行線截等比例線段】

在 $\bigtriangleup EAB$ 和 $\bigtriangleup EDC$ 中
$\angle EBA=\frac{1}{2}\overparen{AD}=\angle ECD$
同理 $\angle EAB=\angle EDC$
$\Rightarrow \bigtriangleup EAB\sim\bigtriangleup EDC\;\;(AA)$

$\overline{EA}:\overline{ED}=\overline{EB}:\overline{EC}=\overline{AB}:\overline{DC}=2:4=1:2$
設 $\overline{EA}=x$，$\overline{ED}=2x$，$\overline{EB}=y$，$\overline{EC}=2y$ \[\left\{\begin{matrix} \overline{AC}=x+2y=9\\ \overline{BD}=2x+y=8 \end{matrix}\right.\] \[\Rightarrow x=\frac{7}{3}\;,\;y=\frac{10}{3}\]

\[\overline{EB}=\frac{10}{3}\;,\;\overline{EC}=\frac{20}{3}\] 如下圖，作 $\overline{EH}\perp\overline{BC}$，設圓 A 、圓 D 與 $\overline{BC}$ 的切點為 P、Q，連 $\overline{AP}$、$\overline{DQ}$

\[\Rightarrow \overline{AP}\parallel\overline{EH}\parallel\overline{DQ}\]

設 $\overline{EH}=x$，在 $\bigtriangleup CAP$ 中
$\overline{EH}:\overline{AP}=\overline{CE}:\overline{CA}$ \[x:R_A=\frac{20}{3}:9\] \[\Rightarrow \frac{x}{R_A}=\frac{20}{27}\;\;\;\;\;...(*1)\]

在 $\bigtriangleup BDQ$ 中
$\overline{EH}:\overline{DQ}=\overline{BE}:\overline{BD}$ \[x:R_D=\frac{10}{3}:8\] \[\Rightarrow \frac{x}{R_D}=\frac{5}{12}\;\;\;\;\;...(*2)\]

$(*2)\div(*1)$ 得 \[\frac{x}{R_D}\div\frac{x}{R_A}=\frac{5}{12}\div\frac{20}{27}\] \[\Rightarrow\frac{R_A}{R_D}=\frac{9}{16}\]

【解2：$\frac{1}{2}absin\theta$ 觀念的外角三角形相似】

作 $\overline{BF}\perp\overline{AC}$ 和 $\overline{CG}\perp\overline{BD}$

在 $\bigtriangleup BAF$ 和 $\bigtriangleup CDG$ 中
$\angle CAB=\angle BDC$ (等弧的圓周角)
$\Rightarrow \angle BAF=\angle CDG$
又 $\angle F=\angle G=90^{\circ}$
$\Rightarrow \bigtriangleup BAF\sim\bigtriangleup CDG \;(AA)$ \[\overline{BF}:\overline{CG}=\overline{BA}:\overline{CD}=2:4=1:2\] 設 $\overline{BF}=h$ 和 $\overline{CG}=2h$

\[\bigtriangleup ABC : \bigtriangleup DBC\] \[=\frac{1}{2}\times\overline{BC}\times\overline{AP}:\frac{1}{2}\times\overline{BC}\times\overline{DQ}\] \[=\frac{1}{2}\times\overline{AC}\times\overline{BF}:\frac{1}{2}\times\overline{BD}\times\overline{CG}\] \[\Rightarrow\overline{AP}:\overline{DQ}=\left (\overline{AC}\times\overline{BF}\right ):\left (\overline{BD}\times\overline{CG}\right )\] \[=9\times h : 8\times 2h=9:16\] \[\Rightarrow R_A : R_D=9:16\]

【解3：外接圓半徑與三角形面積】

設 A、B、C、D 外接圓的圓心為 O，連接 $\overleftrightarrow{AO}$ 交圓 O 於 S 點，則 $\angle ABS=90^{\circ}$，
設圓 A 切 $\overline{BC}$ 於 P 點，連接 $\overline{AP}$

在 $\bigtriangleup CAP$ 和 $\bigtriangleup SAB$ 中
$\angle ACP=\frac{1}{2}\overparen{AB}=\angle ASB$
$\angle APC=\angle ABS=90^{\circ}$

$\Rightarrow \bigtriangleup CAP\sim\bigtriangleup SAB\;\;(AA)$

\[\overline{AP}:\overline{AB}=\overline{AC}:\overline{AS}\] \[\Rightarrow \overline{AP}=\frac{\overline{AC}\times\overline{AB}}{\overline{AS}}=\frac{9\times 2}{\overline{AS}}\;\;\;...(*3)\]

連接 $\overleftrightarrow{DO}$ 交圓 O 於 T 點，則 $\angle DCT=90^{\circ}$，設圓 D 切 $\overline{BC}$ 於 Q 點，連接 $\overline{DQ}$

在 $\bigtriangleup BDQ$ 和 $\bigtriangleup TDC$ 中
$\angle DBQ=\frac{1}{2}\overparen{CD}=\angle DTC$
$\angle DQB=\angle DCT=90^{\circ}$

$\Rightarrow \bigtriangleup BDQ\sim\bigtriangleup TDC\;\;(AA)$

\[\overline{DQ}:\overline{DC}=\overline{DB}:\overline{DT}\] \[\Rightarrow \overline{DQ}=\frac{\overline{DB}\times\overline{DC}}{\overline{DT}}=\frac{8\times 4}{\overline{DT}}\;\;\;...(*4)\] 由 (*3) (*4) 又 $\overline{AS}=\overline{DT}$ 為圓直徑，得 \[\overline{AP}:\overline{DQ}=\frac{9\times 2}{\overline{AS}}:\frac{8\times 4}{\overline{DT}}=(9\times 2):(8\times 4)=9:16\] \[\Rightarrow R_A : R_D=9:16\]