已知 ¯AF=¯FE=¯ED=3 ,
¯AB=¯BC=¯CD=5 ,
求 對角線 ¯AD 長。

【解】
延長 ¯AB 作 ¯FH⊥¯HB

⏜AB=⏜BC=⏜CD=y∘ ,則
3x+3y=360∘,
x+y=120∘ 且 ∠FAB=12⏜FEB=2x+2y2=120∘
⇒△HAF 為 30∘−60∘−90∘ 三角形
由 ¯AF=3 得 ¯HA=32 和 ¯HF=3√32
於 △HBF 中畢氏定理得 ¯BF=√(5+32)2+(3√32)2=7
在圓內接四邊形 BCEF 中,
∵⏜CE=⏜BF
∴ BCEF 為等腰梯形,且 ¯CF=¯BE=a

由托勒密定理得 ¯BCׯEF+¯CEׯBF=¯CFׯBE 5×3+7×7=a2 ⇒¯CF=a=8
在圓內接四邊形 ABCF 中,設 ¯AC=b

在圓內接四邊形 ABCD 中,
∵⏜AB=⏜CD
∴ ABCD 為等腰梯形,且 ¯AC=¯BD=557 ,設¯AD=c

由托勒密定理得 ¯ABׯCD+¯BCׯAD=¯ACׯBD 5×5+5×c=(557)2 ⇒¯AD=c=36049
【思考】
連用三次托勒密定理真的很有意思。
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