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2016/10/21

連續三邊等長的圓內接六邊形之對角線問題

如圖,ABCDEF 是圓內接六邊形,
已知 ¯AF=¯FE=¯ED=3
¯AB=¯BC=¯CD=5

求 對角線 ¯AD 長。

【解】

延長 ¯AB¯FH¯HB

由等弦對等弧,得 AF=FE=ED=x
AB=BC=CD=y ,則
3x+3y=360
x+y=120FAB=12FEB=2x+2y2=120

⇒△HAF306090 三角形
¯AF=3¯HA=32¯HF=332

HBF 中畢氏定理得 ¯BF=(5+32)2+(332)2=7

在圓內接四邊形 BCEF 中,
CE=BF
BCEF 為等腰梯形,且 ¯CF=¯BE=a

由托勒密定理得 ¯BCׯEF+¯CEׯBF=¯CFׯBE 5×3+7×7=a2 ¯CF=a=8

在圓內接四邊形 ABCF 中,設 ¯AC=b

由托勒密定理得 ¯ABׯCF+¯BCׯAF=¯ACׯBF 5×8+5×3=b×7 ¯AC=b=557

在圓內接四邊形 ABCD 中,
AB=CD
ABCD 為等腰梯形,且 ¯AC=¯BD=557 ,設¯AD=c

由托勒密定理得 ¯ABׯCD+¯BCׯAD=¯ACׯBD 5×5+5×c=(557)2 ¯AD=c=36049

【思考】

連用三次托勒密定理真的很有意思。

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