連續三邊等長的圓內接六邊形之對角線問題

如圖，ABCDEF 是圓內接六邊形，
已知 $\overline{AF}=\overline{FE}=\overline{ED}=3$ ，
$\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=5$ ，

求 對角線 $\overline{AD}$ 長。

【解】

延長 $\overline{AB}$ 作 $\overline{FH}\perp\overline{HB}$

由等弦對等弧，得 $\overparen{AF}=\overparen{FE}=\overparen{ED}=x^{\circ}$，
$\overparen{AB}=\overparen{BC}=\overparen{CD}=y^{\circ}$ ，則
$3x+3y=360^{\circ}$，
$x+y=120^{\circ}$ 且 $\angle FAB=\frac{1}{2}\overparen{FEB}=\frac{2x+2y}{2}=120^{\circ}$

$\Rightarrow \bigtriangleup HAF$ 為 $30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ 三角形
由 $\overline{AF}=3$ 得 $\overline{HA}=\frac{3}{2}$ 和 $\overline{HF}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

於 $\bigtriangleup HBF$ 中畢氏定理得 \[\overline{BF}=\sqrt{\left (5+\frac{3}{2}\right )^2 +\left (\frac{3\sqrt{3}}{2}\right )^2}=7\]

在圓內接四邊形 BCEF 中，
$\because \overparen{CE}=\overparen{BF}$
$\therefore $ BCEF 為等腰梯形，且 $\overline{CF}=\overline{BE}=a$

由托勒密定理得 \[\overline{BC}\times\overline{EF}+\overline{CE}\times\overline{BF}=\overline{CF}\times\overline{BE}\] \[5\times 3+7\times 7=a^2\] \[\Rightarrow \overline{CF}=a=8\]

在圓內接四邊形 ABCF 中，設 $\overline{AC}=b$

由托勒密定理得 \[\overline{AB}\times\overline{CF}+\overline{BC}\times\overline{AF}=\overline{AC}\times\overline{BF}\] \[5\times 8+5\times 3=b\times 7\] \[\Rightarrow \overline{AC}=b=\frac{55}{7}\]

在圓內接四邊形 ABCD 中，
$\because \overparen{AB}=\overparen{CD}$
$\therefore $ ABCD 為等腰梯形，且 $\overline{AC}=\overline{BD}=\frac{55}{7}$ ，設$\overline{AD}=c$

由托勒密定理得 \[\overline{AB}\times\overline{CD}+\overline{BC}\times\overline{AD}=\overline{AC}\times\overline{BD}\] \[5\times 5+5\times c=\left (\frac{55}{7}\right)^2\] \[\Rightarrow \overline{AD}=c=\frac{360}{49}\]

【思考】

連用三次托勒密定理真的很有意思。