乘積整除平方和

(1) 求證：有理數 $x$ 與 $x$ 的倒數之和為整數，則 $x=\pm 1$

(2) $a$、$b$ 是兩個 1 到 9 的整數，而且 $ab$ 整除 $a^2+b^2$，
求 $10a+b$ 被 11 除的餘數。

【解】

(1) 設 $x+\frac{1}{x}=k$，且 $k\in\mathbb{Z}$ $$x^2+1=kx$$ $$x^2-kx+1=0$$ 此方程式有有理根，故判別式 $(-k)^2-4\cdot 1\cdot 1$ 為完全平方數
設 $(-k)^2-4=m^2$ ， $k, m\in\mathbb{Z}$ $$\Rightarrow k^2-4=m^2$$ $$k^2-m^2=4$$ $$(k+m)(k-m)=4$$ $(k+m,k-m)=(4,1)$、$(-4,-1)$、$(2,2)$、$(-2,-2)$，

解聯立得 $(k,m)=(\frac{5}{2},\frac{3}{2})$、$(-\frac{5}{2},-\frac{3}{2})$、$(2,0)$、$(-2,0)$

只有 $k=\pm 2$ 為整數，得 $x+\frac{1}{x}=\pm 2$，解得 $x=\pm 1$

(2)

$ab$ 整除 $a^2+b^2$ $$\Rightarrow \frac{a^2+b^2}{ab}=n\in\mathbb{Z}$$ $$\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}=n$$ $$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=n\in\mathbb{Z}$$ 由(1)得 $n=\pm 2$，又 $a,b$ 皆為 1~9 之正整數，
故 $n=2$ 且 $\frac{a}{b}=1$，得 $a=b$

$10a+b=11,22,33,...,88,99$
被 11 除皆為整除，故餘數為 0