(2)
$a$、$b$ 是兩個 1 到 9 的整數,而且 $ab$ 整除 $a^2+b^2$,
求 $10a+b$ 被 11 除的餘數。
【解】
(1)
設 $x+\frac{1}{x}=k$,且 $k\in\mathbb{Z}$
\[x^2+1=kx\]
\[x^2-kx+1=0\]
此方程式有有理根,故判別式 $(-k)^2-4\cdot 1\cdot 1$ 為完全平方數
設 $(-k)^2-4=m^2$ , $k, m\in\mathbb{Z}$
\[\Rightarrow k^2-4=m^2\]
\[k^2-m^2=4\]
\[(k+m)(k-m)=4\]
$(k+m,k-m)=(4,1)$、$(-4,-1)$、$(2,2)$、$(-2,-2)$,
解聯立得 $(k,m)=(\frac{5}{2},\frac{3}{2})$、$(-\frac{5}{2},-\frac{3}{2})$、$(2,0)$、$(-2,0)$
只有 $k=\pm 2$ 為整數,得 $x+\frac{1}{x}=\pm 2$,解得 $x=\pm 1$
(2)
$ab$ 整除 $a^2+b^2$
\[\Rightarrow \frac{a^2+b^2}{ab}=n\in\mathbb{Z}\]
\[\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}=n\]
\[\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=n\in\mathbb{Z}\]
由(1)得 $n=\pm 2$,又 $a,b$ 皆為 1~9 之正整數,
故 $n=2$ 且 $\frac{a}{b}=1$,得 $a=b$
$10a+b=11,22,33,...,88,99$
被 11 除皆為整除,故餘數為 0
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