對角兩直角、給定面積的四邊形求兩股和

【題目】

如圖，$\angle A= \angle C = 90^{\circ}$，$\overline{AB}=\overline{AD}$，
且四邊形 ABCD 的面積為9，
則 $\overline{BC}+\overline{CD}$為多少？

【解1】(畢氏定理與乘法公式)

連接 $\overline{BD}$ ，設 $\overline{AB}=\overline{AD}=x$，$\overline{BC}=a$，$\overline{DC}=b$

則在△ABD 中由畢氏定理有 $\overline{BD}^2=x^2+x^2=2x^2$；
在△CBD 中有 $\overline{BD}^2=a^2+b^2$，得： \[a^2+b^2=2x^2\] 由兩塊三角形面積之和為 ABCD 面積，
故 $\frac{x\times x}{2}+\frac{a \times b}{2}=9$ 得： \[x^2 + ab = 18\] 上述一式代入另一式得 \[a^2 + b^2 = 36 - 2ab\] \[(a+b)^2=36\] \[a+b=6\] 得 $\overline{BC}+\overline{CD}=6$

【解2】(全等切割拼湊)

作 $\overline{AE}\perp\overline{DC}$，延長 $\overleftrightarrow{CB}$ 並作 $\overline{AF}\perp\overline{CF}$，

則在△ADE和△ABF中，
$\angle{AED}=\angle{AFB}=90^{\circ}$，$\angle{ADE}=360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}-\angle{ABC}$
$=180^{\circ}-\angle{ABC}$
$=\angle{ABF}$，
且 $\overline{AD}=\overline{AB}$ (已知)
$\Rightarrow$ △ADE $\cong$ △ABF (AAS)，$\overline{AE}=\overline{AF}$，
得 AECF 是正方形，且 AECF 面積=ABCD面積=9，
邊長 $\overline{FC}=\overline{EC}=3$

所求 $\overline{BC}+\overline{CD}=\overline{FC}+\overline{CE}=3+3=6$