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2016/9/2

對角兩直角、給定面積的四邊形求兩股和

【題目】

如圖,A=C=90¯AB=¯AD
且四邊形 ABCD 的面積為9,
¯BC+¯CD為多少?

【解1】(畢氏定理與乘法公式)

連接 ¯BD ,設 ¯AB=¯AD=x¯BC=a¯DC=b

則在△ABD 中由畢氏定理有 ¯BD2=x2+x2=2x2
在△CBD 中有 ¯BD2=a2+b2,得: a2+b2=2x2

由兩塊三角形面積之和為 ABCD 面積,
x×x2+a×b2=9 得: x2+ab=18
上述一式代入另一式得 a2+b2=362ab
(a+b)2=36
a+b=6
¯BC+¯CD=6

【解2】(全等切割拼湊)

¯AE¯DC,延長 CB 並作 ¯AF¯CF

則在△ADE和△ABF中,
AED=AFB=90ADE=3609090ABC
=180ABC
=ABF
¯AD=¯AB (已知)
△ADE △ABF (AAS),¯AE=¯AF
得 AECF 是正方形,且 AECF 面積=ABCD面積=9,
邊長 ¯FC=¯EC=3

所求 ¯BC+¯CD=¯FC+¯CE=3+3=6

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