邊長連續三整數，最大角是最小角的兩倍

$\bigtriangleup ABC$ 三邊為連續正整數，如圖：
$\overline{BC}=x$ ， $\overline{AB}=x+1$ ， $\overline{CA}=x+2$，
且 $\angle B=2 \angle A$，求三邊長。

【內分比與相似解法】

作 $\angle B$ 的角平分線交 $\overline{AC}$ 於 D 點

由內分比性質得 \[\overline{DA}:\overline{DC}=\overline{BA}:\overline{BC}=(x+1):x\] 由比例分配得 \[\overline{CD}=(x+2)\cdot\frac{x}{x+x+1}=\frac{x^2+2x}{2x+1}\] 又 $\bigtriangleup CAB$ 和 $\bigtriangleup CBD$ 中，
$\angle C=\angle C$ ，
$\angle CBA=2\angle A$ ，得 $\angle CAB=\angle CBD$ ，
$\Rightarrow \bigtriangleup CAB\sim\bigtriangleup CBD (AA)$

\[\overline{CB}:\overline{CA}=\overline{CD}:\overline{CB}\] \[x:(x+2)=\frac{x^2+2x}{2x+1}:x\] \[x^2=\frac{x^3+4x^2+4x}{2x+1}\] \[2x^3+x^2=x^3+4x^2+4x\] \[x^3-3x^2-4x=0\] 因 $x$ 是正整數不為零，同除以 $x$ 得 \[x^2-3x-4=0\] \[(x+1)(x-4)=0\] 得 $x=-1, 4$ ($-1$ 不合)，得三邊長為 4，5，6

【相似邊長周長同比解法】

作 $\angle B$ 的角平分線交 $\overline{AC}$ 於 D 點

$\angle CBA=2\angle A$ ，得 $\angle CAB=\angle CBD=\angle DBA$
$\Rightarrow \overline{AD}=\overline{BD}$
又 $\angle C=\angle C$
$\Rightarrow \bigtriangleup CDB\sim\bigtriangleup CBA (AA)$

利用 $\bigtriangleup CDB$ 和 $\bigtriangleup CBA$ 的周長比與邊長比相同

$\bigtriangleup CDB$ 周長： $\bigtriangleup CBA$ 周長 $=\overline{BC}:\overline{AC}$ \[\Rightarrow \left (\overline{CD}+\overline{DB}+\overline{BC}\right):\left (\overline{CB}+\overline{BA}+\overline{AC}\right)=\overline{BC}:\overline{AC}\] 又 $\overline{CD}+\overline{DB}=\overline{CD}+\overline{DA}=\overline{CA}$
\[\Rightarrow \left (\overline{CA}+\overline{BC}\right):\left (\overline{CB}+\overline{BA}+\overline{AC}\right)=\overline{BC}:\overline{AC}\] \[\left[(x+2)+x\right ]:\left [x+(x+1)+(x+2)\right ]=x:(x+2)\] \[(2x+2):(3x+3)=x:(x+2)\] \[3x^2+3x=2x^2+6x+4\] \[x^2-3x-4=0\] \[(x+1)(x-4)=0\] 得 $x=-1, 4$ ($-1$ 不合)，得三邊長為 4，5，6

【對稱畢氏定理解法】

在 $\overline{AB}$ 上取一點 E 使得 $\overline{CE}=\overline{CB}=x$
並作 $\overline{CH}\perp\overline{AB}$

由 $\bigtriangleup HCE\cong\bigtriangleup HCB (RHS)$ 左右對稱得
$\angle CEH=\angle CBH=2\angle A$，

又 $\bigtriangleup EAC$ 中外角定理
$\angle ECA=\angle CEH-\angle A=2\angle A-\angle A=\angle A$
$\Rightarrow \overline{EA}=\overline{EC}=x$
$\overline{EB}=\overline{AB}-\overline{AE}=(x+1)-x=1$
$\overline{HE}=\overline{HB}=\frac{1}{2}$

分別在 $\bigtriangleup HCE$ 和 $\bigtriangleup HCA$ 中

由畢氏定理得 \[\overline{CH}^2=\overline{CE}^2-\overline{HE}^2=\overline{CA}^2-\overline{HA}^2\] \[\Rightarrow x^2-\left (\frac{1}{2}\right )^2=(x+2)^2-\left (x+\frac{1}{2}\right )^2\] \[x^2-\frac{1}{4}=x^2+4x+4-x^2-x-\frac{1}{4}\] \[x^2-3x-4=0\] \[(x+1)(x-4)=0\] 得 $x=-1, 4$ ($-1$ 不合)，得三邊長為 4，5，6

【外接圓托勒密解法】

作 $\bigtriangleup ABC$ 的外接圓，並作 $\angle B$ 的角平分線交圓於 F，
連接 $\overline{CF}$ 和 $\overline{AF}$

$\angle FCA=\frac{1}{2}\overparen {FA}=\angle FBA$
$\angle FBC=\frac{1}{2}\overparen {FC}=\angle FAC$
又 $\angle FBA=\angle FBC=\frac{1}{2}\angle ABC=\angle A$
$\Rightarrow \angle FAC=\angle FCA=\angle CAB$
得 ABCF 是等腰梯形
$\overline{FA}=\overline{FC}=x$ ， $\overline{FB}=\overline{CA}=x+2$

A, B, C, F 共圓由托勒密定理得 \[\overline{FA}\times\overline{CB}+\overline{FC}\times\overline{AB}=\overline{FB}\times\overline{CA}\] \[\Rightarrow x\cdot x+x\cdot (x+1)=(x+2)\cdot(x+2)\] \[x^2+x^2+x=x^2+4x+4\] \[x^2-3x-4=0\] \[(x+1)(x-4)=0\] 得 $x=-1, 4$ ($-1$ 不合)，得三邊長為 4，5，6