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2016/10/23

邊長連續三整數,最大角是最小角的兩倍

ABC 三邊為連續正整數,如圖:
¯BC=x¯AB=x+1¯CA=x+2
B=2A,求三邊長。

【內分比與相似解法】

B 的角平分線交 ¯AC 於 D 點

由內分比性質得 ¯DA:¯DC=¯BA:¯BC=(x+1):x 由比例分配得 ¯CD=(x+2)xx+x+1=x2+2x2x+1CABCBD 中,
C=C
CBA=2A ,得 CAB=CBD
⇒△CAB∼△CBD(AA)

¯CB:¯CA=¯CD:¯CB x:(x+2)=x2+2x2x+1:x x2=x3+4x2+4x2x+1 2x3+x2=x3+4x2+4x x33x24x=0x 是正整數不為零,同除以 xx23x4=0 (x+1)(x4)=0x=1,4 (1 不合),得三邊長為 4,5,6

【相似邊長周長同比解法】

B 的角平分線交 ¯AC 於 D 點

CBA=2A ,得 CAB=CBD=DBA
¯AD=¯BD
C=C
⇒△CDB∼△CBA(AA)

利用 CDBCBA 的周長比與邊長比相同

CDB 周長: CBA 周長 =¯BC:¯AC
(¯CD+¯DB+¯BC):(¯CB+¯BA+¯AC)=¯BC:¯AC¯CD+¯DB=¯CD+¯DA=¯CA
(¯CA+¯BC):(¯CB+¯BA+¯AC)=¯BC:¯AC [(x+2)+x]:[x+(x+1)+(x+2)]=x:(x+2) (2x+2):(3x+3)=x:(x+2) 3x2+3x=2x2+6x+4 x23x4=0 (x+1)(x4)=0x=1,4 (1 不合),得三邊長為 4,5,6

【對稱畢氏定理解法】

¯AB 上取一點 E 使得 ¯CE=¯CB=x
並作 ¯CH¯AB

HCE≅△HCB(RHS) 左右對稱得
CEH=CBH=2A

EAC 中外角定理
ECA=CEHA=2AA=A
¯EA=¯EC=x
¯EB=¯AB¯AE=(x+1)x=1
¯HE=¯HB=12

分別在 HCEHCA

由畢氏定理得 ¯CH2=¯CE2¯HE2=¯CA2¯HA2 x2(12)2=(x+2)2(x+12)2 x214=x2+4x+4x2x14 x23x4=0 (x+1)(x4)=0x=1,4 (1 不合),得三邊長為 4,5,6

【外接圓托勒密解法】

ABC 的外接圓,並作 B 的角平分線交圓於 F,
連接 ¯CF¯AF

FCA=12FA=FBA
FBC=12FC=FAC
FBA=FBC=12ABC=A
FAC=FCA=CAB
得 ABCF 是等腰梯形
¯FA=¯FC=x¯FB=¯CA=x+2

A, B, C, F 共圓由托勒密定理得 ¯FAׯCB+¯FCׯAB=¯FBׯCA xx+x(x+1)=(x+2)(x+2) x2+x2+x=x2+4x+4 x23x4=0 (x+1)(x4)=0x=1,4 (1 不合),得三邊長為 4,5,6

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