¯BC=x , ¯AB=x+1 , ¯CA=x+2,
且 ∠B=2∠A,求三邊長。

【內分比與相似解法】
作 ∠B 的角平分線交 ¯AC 於 D 點

由內分比性質得
¯DA:¯DC=¯BA:¯BC=(x+1):x
由比例分配得
¯CD=(x+2)⋅xx+x+1=x2+2x2x+1
又 △CAB 和 △CBD 中,
∠C=∠C ,
∠CBA=2∠A ,得 ∠CAB=∠CBD ,
⇒△CAB∼△CBD(AA)
¯CB:¯CA=¯CD:¯CB x:(x+2)=x2+2x2x+1:x x2=x3+4x2+4x2x+1 2x3+x2=x3+4x2+4x x3−3x2−4x=0 因 x 是正整數不為零,同除以 x 得 x2−3x−4=0 (x+1)(x−4)=0 得 x=−1,4 (−1 不合),得三邊長為 4,5,6
【相似邊長周長同比解法】
作 ∠B 的角平分線交 ¯AC 於 D 點

∠CBA=2∠A ,得 ∠CAB=∠CBD=∠DBA
⇒¯AD=¯BD
又 ∠C=∠C
⇒△CDB∼△CBA(AA)
利用 △CDB 和 △CBA 的周長比與邊長比相同
⇒(¯CA+¯BC):(¯CB+¯BA+¯AC)=¯BC:¯AC [(x+2)+x]:[x+(x+1)+(x+2)]=x:(x+2) (2x+2):(3x+3)=x:(x+2) 3x2+3x=2x2+6x+4 x2−3x−4=0 (x+1)(x−4)=0 得 x=−1,4 (−1 不合),得三邊長為 4,5,6
【對稱畢氏定理解法】
在 ¯AB 上取一點 E 使得 ¯CE=¯CB=x
並作 ¯CH⊥¯AB

由 △HCE≅△HCB(RHS) 左右對稱得
∠CEH=∠CBH=2∠A,
又 △EAC 中外角定理
∠ECA=∠CEH−∠A=2∠A−∠A=∠A
⇒¯EA=¯EC=x
¯EB=¯AB−¯AE=(x+1)−x=1
¯HE=¯HB=12
分別在 △HCE 和 △HCA 中

由畢氏定理得 ¯CH2=¯CE2−¯HE2=¯CA2−¯HA2 ⇒x2−(12)2=(x+2)2−(x+12)2 x2−14=x2+4x+4−x2−x−14 x2−3x−4=0 (x+1)(x−4)=0 得 x=−1,4 (−1 不合),得三邊長為 4,5,6
【外接圓托勒密解法】
作 △ABC 的外接圓,並作 ∠B 的角平分線交圓於 F,
連接 ¯CF 和 ¯AF

∠FCA=12⏜FA=∠FBA
∠FBC=12⏜FC=∠FAC
又 ∠FBA=∠FBC=12∠ABC=∠A
⇒∠FAC=∠FCA=∠CAB
得 ABCF 是等腰梯形
¯FA=¯FC=x , ¯FB=¯CA=x+2
A, B, C, F 共圓由托勒密定理得 ¯FAׯCB+¯FCׯAB=¯FBׯCA ⇒x⋅x+x⋅(x+1)=(x+2)⋅(x+2) x2+x2+x=x2+4x+4 x2−3x−4=0 (x+1)(x−4)=0 得 x=−1,4 (−1 不合),得三邊長為 4,5,6
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