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2016/10/18

20012001+20032003 被 4004 整除

求證:20012001+20032003 能被 4004 整除。

【等冪和差展開解法】

考慮 20012001+1200320031 兩數

20012001+1=20012001+12001 =(2001+1)(2001200020011999+20011998...2001+1) 其中 (2001200020011999+20011998...2001+1) 為奇數,因為
(奇數 - 奇數 + 奇數 - ... - 奇數 + 1) 前面共有 20001+1=2000 共偶數個奇數,故存在 aZ 使得 20012001+1=(2001+1)(2a+1)

同理,考慮 200320031=2003200312003 =(20031)(20032002+20032001+20032000+...+2003+1) 其中 (20032002+20032001+20032000+...+2003+1) 為奇數,因為
(奇數 + 奇數 + 奇數 + ... + 奇數 + 1) 前面共有 20021+1=2002 共偶數個奇數,故存在 bZ 使得 200320031=(20031)(2b+1) 將以上兩數相加得 20012001+1+200320031 =(2001+1)(2a+1)+(20031))(2b+1) =2002(2a+2b+2) =4004(a+b+1)

20012001+20032003=4004k,kZ 得證此數被 4004 整除

【同餘 mod 解法】

由於 4004=4×1001,考慮 4 和 1001 兩數。

Case 4:

2001÷4=500...12003÷4=500...3
20011(mod4)20033(1)(mod4) 20012001+2003200312001+(1)20030(mod4) 得此數被 4 整除。

Case 1001:

2001÷1001=1...10002003÷1001=2...1
20011000(1)(mod1001)20031(mod1001) 20012001+20032003(1)2001+120030(mod1001) 得此數被 1001 整除。

同時被 4 和 1001 整除,又 4 與 1001 互質 (4,1001)=1

得證 20012001+20032003 被 4004 整除。

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