【等冪和差展開解法】
考慮 20012001+1 和 20032003−1 兩數
20012001+1=20012001+12001
=(2001+1)(20012000−20011999+20011998−...−2001+1)
其中 (20012000−20011999+20011998−...−2001+1) 為奇數,因為
(奇數 - 奇數 + 奇數 - ... - 奇數 + 1) 前面共有 2000−1+1=2000 共偶數個奇數,故存在 a∈Z 使得
20012001+1=(2001+1)(2a+1)
同理,考慮
20032003−1=20032003−12003
=(2003−1)(20032002+20032001+20032000+...+2003+1)
其中 (20032002+20032001+20032000+...+2003+1) 為奇數,因為
(奇數 + 奇數 + 奇數 + ... + 奇數 + 1) 前面共有 2002−1+1=2002 共偶數個奇數,故存在 b∈Z 使得
20032003−1=(2003−1)(2b+1)
將以上兩數相加得
20012001+1+20032003−1
=(2001+1)(2a+1)+(2003−1))(2b+1)
=2002(2a+2b+2)
=4004(a+b+1)
⇒20012001+20032003=4004k,k∈Z 得證此數被 4004 整除
【同餘 mod 解法】
由於 4004=4×1001,考慮 4 和 1001 兩數。
Case 4:
∵2001÷4=500...1 與 2003÷4=500...3
∴2001≡1(mod4) 與 2003≡3≡(−1)(mod4)
⇒20012001+20032003≡12001+(−1)2003≡0(mod4)
得此數被 4 整除。
Case 1001:
∵2001÷1001=1...1000 與 2003÷1001=2...1
∴2001≡1000≡(−1)(mod1001) 與 2003≡1(mod1001)
⇒20012001+20032003≡(−1)2001+12003≡0(mod1001)
得此數被 1001 整除。
同時被 4 和 1001 整除,又 4 與 1001 互質 (4,1001)=1,
得證 20012001+20032003 被 4004 整除。
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