兩個二次函數圖形與正方形

如圖，$C_1: y=x^2$ 和 $C_2: y=\frac{1}{4} x^2$ 兩個二次函數圖形上有三點 A,B,D，另有一點 C。若 ABCD 是邊長與兩軸平行的正方形，求 A 點座標。

【解】

設 B 點座標為 $\left (a,\frac{1}{4}a^2\right )$，正方形邊長 b，則得另外三點座標為

$$A\left (a, \frac{1}{4}a^2 +b\right )$$ $$C\left (a+b, \frac{1}{4}a^2\right )$$ $$D\left (a+b, \frac{1}{4}a^2+b\right )$$ A 點在 $C_1$ 圖形上、D 點在 $C_2$ 圖形上，代入分別成立得聯立方程式： $$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{4}a^2+b=a^2\\ \frac{1}{4}a^2+b=\frac{1}{4}\left (a+b\right )^2 \end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix} a^2 +4b=4a^2\\ a^2+4b=a^2+2ab+b^2 \end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix} 4b=3a^2\\ 4b=2ab+b^2 \end{matrix}\right.$$ 上式代入下式得： $$3a^2-2ab-b^2=0$$ $$\left (3a+b\right )\left (a-b\right )=0$$ 得 $b=-3a$ 或 $a=b$ （B 點在第一象限故前者不合）
將 $a=b$ 代入 A 點得 $A\left (a, \frac{1}{4}a^2+a\right )$，再代入 $C_1$ 得 $$\frac{1}{4}a^2+a=a^2$$ $$a^2+4a=4a^2$$ $$a(3a-4)=0$$ 得 $a=0, \frac{4}{3}$ （0 不合），並得 $A\left (\frac{4}{3}, \frac{16}{9}\right )$