海龍公式 (Heron's formula) 與內心旁心證明

［海龍公式 ( Heron's fomula, Hero's fomula )］

△ABC中，$\overline{BC}=a$，$\overline{CA}=b$，$\overline{AB}=c$， 令 $p=\frac{a+b+c}{2}$，

則△ABC = $\sqrt{p (p-a)(p-b)(p-c)}$

內心與旁心證明：

作 △ABC 的內心 I 與內切圓，與三邊切點為P、Q、R；
作 △ABC 的 $\overline{AC}$ 側旁心 J 與旁切圓，與三邊的切點為S、T、U。

(*1)

由圓外一點對圓 I 的切線等長性質得知：
$\overline{AR}=\overline{AQ}$，$\overline{BP}=\overline{BR}$，$\overline{CQ}=\overline{CP}$，又
$\overline{AR}+\overline{AQ}+\overline{BP}+\overline{BR}+\overline{CQ}+\overline{CP}=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{AC}=a+b+c$，
$\Rightarrow \overline{AR}+\overline{BP}+\overline{CQ}=\frac{a+b+c}{2}=p$ 並得：
\[\overline{AR}=\overline{AQ}=\frac{b+c-a}{2}=(p-a)\] \[\overline{BP}=\overline{BR}=\frac{c+a-b}{2}=(p-b)\] \[\overline{CQ}=\overline{CP}=\frac{a+b-c}{2}=(p-c)\]

又圓外一點對圓 J 之切線等長，得
$\overline{AU}=\overline{AT}$，$\overline{BS}=\overline{BU}$，$\overline{CT}=\overline{CS}$，
故 $\overline{RU}=\overline{BU}-\overline{BR}=\overline{BS}-\overline{BP}=\overline{PS}$，

設 $\overline{AR}=\overline{AQ}= x$，$\overline{QT} = z$，$\overline{CT}=\overline{CS}= y$，則

$\overline{AU} = \overline{AT} = x+z$，$\overline{CP} = \overline{CQ} = y+z$， 由 $\overline{RU} = \overline{PS}$ 得

$ x + x + z = z + y + y$
$2x = 2y$
$\Rightarrow x = y$

故 $\overline{AR} = \overline{AQ} = \overline{CS} = \overline{CT} =(p-a)$
$\overline{AU} = \overline{AT} = \overline{CQ} = \overline{CP} = (p-c)$

$\overline{BU} = \overline{BR} + \overline{AR} + \overline{AU} = \overline{BP} + \overline{AR} + \overline{CQ} = p$

(*2)

連接 $\overline{IR}$ 與 $\overline{JU}$，

設內切圓半徑$\overline{IR} = r_1$，
設旁切圓半徑$\overline{JU} = r_2$，
連接 $\overline{BJ}$，由 $\overline{BJ}$ 平分 ∠UBS 且 $\overline{BI}$ 平分 ∠RBP 得知：

B、I、J三點共線，I在BJ上。

在 △BIR 與 △BJU 中，
R、U為切點，∠IRB = ∠JUB = 90∘，
又公共角 ∠IBR = ∠JBU，
故 △BIR ～ △BJU (AA相似)。

$\overline{IR}:\overline{BR}=\overline{JU}:\overline{BU}$，得
\[r_2=\overline{JU}=\frac{\overline{IR}\times\overline{BU}}{\overline{BR}}=\frac{r_1 \times p}{(p-b)}\]

(*3)

連 $\overline{IA}$ 與 $\overline{JA}$，

在 △IAR 與 △AJU 中，
$\overline{AR}$、$\overline{AQ}$、$\overline{AU}$ 與兩圓相切，又 I、J 為圓心，故

$\overline{IA}$ 平分 ∠RAQ，$\overline{JA}$ 平分 ∠UAT，

得 ∠IAJ = 90∘，∠IAR + ∠JAU = 90∘，
又 R 為切點，
∠IAR + ∠AIR = 90∘ = ∠IAR + ∠JAU，
$\Rightarrow$ ∠AIR = ∠JAU，
故 △IAR ～ △AJU (AA相似)。

$\overline{IR}:\overline{AR}=\overline{AU}:\overline{JU}$，得
\[r_2 = \overline{JU} = \frac{\overline{AR}\times\overline{AU}}{\overline{IR}} = \frac{(p-a)(p-c)}{r_1}\]

(*4)

由(*2)與(*3)得 \[\frac{r_1 \times p}{(p-b)} = \frac{(p-a)(p-c)}{r_1}\]
\[r_1 ^2 = \frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}\]
\[\Rightarrow r_1=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}\] \[\Rightarrow △ABC = \frac{1}{2} r_1 (a+b+c)=\frac{1}{2} r_1 \times 2p\] \[= \sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}\times p^2}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\] 得證。

心得：

這是比較少見的證明，大部份網路流傳的兩個版本恰好是中學與高中各一，中學生證明法是作出一條高，將邊長 $a$ 分成 $x$ 和 $(a-x)$，利用畢氏定理解出 $x$ 與高；而高中生證明法是三角函數，過程當然是更加漂亮簡潔，但我認為證明或解法並不是愈有效率就愈好，其中的過程也很重要，例如上面的內心與旁心證法，正好解釋了半周長 $p$ 與半周長減去一邊的 $(p-a)$、$(p-b)$、$(p-c)$ 到底在原來三角形是代表什麼量，原來它們是頂點對內切圓與旁切圓的切線長！我認為這些觀察對學習幾何是很有幫助的，而不是只是單純地使用公式得到答案，那樣多無聊啊。