外切兩圓之外公切線長與兩半徑公式

外切的兩圓 A 與 B，半徑分別為 $a$ 和 $b$，$\overleftrightarrow{PQ}$ 為外公切線，
P、Q 為切點，且兩圓外切於 C 點，

求證：外公切線長 $\overline{PQ}=2 \sqrt{ab}$

【代數證明】

連接 $\overline{AP}=a$，$\overline{BQ}=b$，
作 $\overline{BH}\perp\overline{AP}$

P,Q 為切點則 $\angle APQ = \angle BQP = 90^{\circ}$，
$\Rightarrow$ PQBH 為矩形，$\overline{HP}=\overline{BQ}=b$，$\overline{AH}=a-b$
在直角三角形 HAB 中，由畢氏定理得 $$\overline{HB}=\sqrt{\overline{AB}^2 - \overline{AH}^2}$$ $$=\sqrt{(a+b)^2 - (a-b)^2}$$ $$=\sqrt{a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2}$$ $$=\sqrt{4ab}$$ $$=2 \sqrt{ab}$$ 得證。

【幾何證明】

過 C 作兩圓的內公切線，交外公切線於 M 點，連接 $\overline{AM}$、$\overline{BM}$

$\overline{MP}$ 和 $\overline{MC}$ 為 M 對圓 A 的切線，得 $\overline{MP}=\overline{MC}$
同理 $\overline{MQ}=\overline{MC}$ ，故 M 是 $\overline{PQ}$ 中點，
且 MPAC 和 MQBC 為箏形，
$\overline{MA},\overline{MB}$ 分別平分 $\angle PMC, \angle QMC$，
$\angle AMB = \frac{1}{2} \angle PMC+\frac{1}{2} \angle QMC=90^{\circ}$

得 $\angle PMA + \angle BMQ=90^{\circ}$ 且 $\angle PMA + \angle MAP=90^{\circ}$
$\Rightarrow \angle BMQ = \angle MAP$，故 $\bigtriangleup MAP \sim \bigtriangleup BMQ$

$$\Rightarrow\overline{AP}:\overline{PM}=\overline{MQ}:\overline{QB}$$ $$\overline{PM}\times\overline{MQ}=\overline{AP}\times\overline{QB}$$ $$\overline{PM}^2=ab$$ $$\overline{PM}=\sqrt{ab}$$ $$\Rightarrow\overline{PQ}=2\overline{PM}=2\sqrt{ab}$$ 得證。

【思考】

兩個作法都是中三學生會碰到的圖形與性質，但大部份學生都是學代數證明，而內公切線的證法通常是在別的題目出現。我認為可以多思考這個延伸，主要是公式 $2\sqrt{ab}$ 的那個 2 倍可以想想看：是誰的 2 倍長？自然就想到內、外公切線交點為中點，然後 $\sqrt{ab}$ 是相乘積開根號，這應該聯想到什麼？答案是比例中項，所以尋找相似形。這套思路其實是很好用的。