半圓內相等的圓周角問題

如圖，半圓中 O 為圓心，C 點在直徑 $\overline{AB}$ 上，D、E 在圓上
$\angle DOA=40^{\circ}$ ， $\angle CDO=\angle CEO=15^{\circ}$ ，
求 $\overparen{BE}$

【解】

在 $\bigtriangleup COE$ 和 $\bigtriangleup COD$ 中，

$\overline{CO}=\overline{CO}$ （共用）
$\overline{OE}=\overline{OD}$ （半徑）
$\angle OEC=\angle ODC=15^{\circ}$ （已知）
則 $\bigtriangleup COE$ 和 $\bigtriangleup COD$ 是 SSA 不一定全等

又 $\angle OCE > \angle OCD$ $\Rightarrow \bigtriangleup COD$ 與 $\bigtriangleup COD$ 不全等
且 $\angle OCE$ 與 $\angle OCD$ 互補 $\Rightarrow \angle ECB=\angle OCD$

\[\angle OCD=\angle DOA-\angle CDO=40^{\circ}-15^{\circ}=25^{\circ}\] \[\angle ECB=\angle OCD=25^{\circ}\] \[\Rightarrow \overparen{BE}=\angle EOB=\angle ECB-\angle CEO=25^{\circ}-15^{\circ}=10^{\circ}\]

【思考】

這是少見 SSA 不一定相似的問題，初中課內都畫過 SSA 不一定相似的圖形，且都知道有一個對應角會互補，但就沒有再深入討論了，這題也可以在 $\overline{CD}$ 上取一點 F ，使得 $\angle OFD=\angle OCE$

則 $\bigtriangleup OFD\cong\bigtriangleup OCE\;(AAS)$ ，這樣就是很熟悉的 $\bigtriangleup OCD$ 和 $\bigtriangleup OFD$ 的 SSA 不全等。