平面上與斜直線和兩軸相切的圓

直角座標平面上有直線 $L: 3x+4y=12$，求：

與 L、x 軸、y 軸相切的圓之圓心座標。

【解】

如圖，這樣的圓共有四個：

設 L 與兩軸分別交於 A、B 兩點，而圓分別與 x 軸、y 軸、L 切於 P、Q、R 三點，
$$\Rightarrow \overline{OA}=4, \overline{OB}=3, \overline{AB}=5$$

【求 $O_1$ 】

設 $O_1$ 的半徑為 $r_1$，則
$\overline{OP}=\overline{OQ}=r_1$，
$\overline{AP}=\overline{AR}=4-r_1$ ， $\overline{BQ}=\overline{BR}=3-r_1$，
利用 $\overline{AB}=\overline{AR}+\overline{BR}$ $$(4-r_1)+(3-r_1)=5$$ $$r_1 =\frac{4+3-5}{2}=1$$ 得 $O_1(1,1)$

【求 $O_2$ 】

設 $O_2$ 的半徑為 $r_2$，則
$\overline{OP}=\overline{OQ}=r_2$，
$\overline{AP}=\overline{AR}=r_2 -4$ ， $\overline{BQ}=\overline{BR}=r_2 -3$，
利用 $\overline{AB}=\overline{AR}+\overline{BR}$ $$(r_2 -4)+(r_2 -3)=5$$ $$r_2 =\frac{5+3+4}{2}=6$$ 得 $O_2(6,6)$

【求 $O_3$ 】

設 $O_3$ 的半徑為 $r_3$，則
$\overline{OP}=\overline{OQ}=r_3$，
$\overline{AP}=\overline{AR}=r_3 +4$ ， $\overline{BQ}=\overline{BR}=3-r_3$，
利用 $\overline{AB}=\overline{AR}-\overline{BR}$ $$(r_3 +4)-(3-r_3)=5$$ $$r_3 =\frac{5-4+3}{2}=2$$ 得 $O_3(-2,2)$

【求 $O_4$ 】

設 $O_4$ 的半徑為 $r_4$，則
$\overline{OP}=\overline{OQ}=r_4$，
$\overline{AP}=\overline{AR}=4-r_4$ ， $\overline{BQ}=\overline{BR}=3+r_4$，
利用 $\overline{AB}=\overline{BR}-\overline{AR}$ $$(3+r_4)-(4-r_4)=5$$ $$r_4 =\frac{5-3+4}{2}=3$$ 得 $O_4(3,-3)$

得圓心有 $(1,1)$ 、 $(6,6)$ 、 $(-2,2)$ 、 $(3,-3)$