兩圓交於兩點，割線為另一圓的切線之問題

有兩圓 $O_1$、$O_2$ 相交於 A、B 兩點，
若 $\overline{DE}$ 切圓 $O_1$ 於 A 點，$\overline{BE}$ 切圓 $O_2$ 於 B 點，
已知 $\overline{ED}=27$，$\overline{EC}=8$，

問圓 $O_1$ 與圓 $O_2$ 的半徑比值為何？

【解1】

由同一弧所對的圓周角與弦切角相等，可得到三角形相似。

A 是 $O_1$ 切點，得 $\angle EAC=\frac{1}{2}\overparen{AC}=\angle ABC$，
又 B 是 $O_2$ 切點，得 $\angle ABC=\frac{1}{2}\overparen{AB}=\angle ADB$
還有 $\angle E$ 共用，得： $$\bigtriangleup EAC\sim\bigtriangleup EBA\sim\bigtriangleup EDB$$ 得邊長比例 $\overline{EA}:\overline{EC}=\overline{EB}:\overline{EA}=\overline{ED}:\overline{EB}$

即圓冪定理中的切割線性質 $\overline{EA}^2=\overline{EC}\times\overline{EB}$ 和 $\overline{EB}^2=\overline{EA}\times\overline{ED}$ $$\Rightarrow\left\{\begin{matrix} \overline{EA}^2=8\overline{EB}\\ \overline{EB}^2=27\overline{EA} \end{matrix}\right.$$ 兩式相乘得： $$27\overline{EA}^3=8\overline{EB}^3$$ $$\Rightarrow \overline{EA}^3:\overline{EB}^3=\frac{1}{27}:\frac{1}{8}=8:27$$ $$\overline{EA}:\overline{EB}=2:3$$

連 $\overline{O_1 C}$、$\overline{O_1 A}$、$\overline{{O_2}D}$、$\overline{O_2, B}$

$\angle O_1 AC=90^{\circ}-\angle EAC=90^{\circ}-\angle EBA=\angle O_2 BA$
故 $\bigtriangleup O_1 AC$ 與 $\bigtriangleup O_2 BA$ 是底角相同的等腰三角形， $$\Rightarrow \bigtriangleup O_1 AC\sim\bigtriangleup O_2 BA$$ $$\overline{O_1 A}:\overline{O_2 B}=\overline{AC}:\overline{BA}$$ $$=\overline{EA}:\overline{EB}=2:3$$

【解2】

切割線性質可得 $$\left\{\begin{matrix} \overline{EA}^2=8\overline{EB}\\ \overline{EB}^2=27\overline{EA} \end{matrix}\right.$$ 上式代入下式得 $\frac{\overline{EA}^4}{8^2}=27\overline{EA}$
$\overline{EA}^3=8^2 \times 27$
$\overline{EA}=12$

而下式代入上式得 $\frac{\overline{EB}^4}{27^2}=8\overline{EB}$
$\overline{EB}^3=27^2 \times 8$
$\overline{EB}=18$

A 是 $O_1$ 切點，得 $\angle EAC=\frac{1}{2}\overparen{AC}=\angle ABC$，
且 $\angle DAB=\frac{1}{2}\overparen{AB}=\angle BCA$
又 B 是 $O_2$ 切點，得 $\angle ABC=\frac{1}{2}\overparen{AB}=\angle ADB$
$\Rightarrow \bigtriangleup BAD\sim\bigtriangleup ACB$

又相似三角形之外接圓半徑比，等於邊長之比，得：
所求 $\overline{O _1 A}:\overline{O_2 B}=\overline{CB}:\overline{AD}$
$=(18-8):(27-12)=2:3$