$\left (\frac{21}{n}-2\right )^2-2\left (\frac{21}{n}-2\right )=n+42$ 之解

n 為整數且滿足 $\left (\frac{21}{n}-2\right )^2-2\left (\frac{21}{n}-2\right )=n+42$
試求 n 之值？

【解1：換元】

令 $\frac{21}{n}-2 =a$
$$\Rightarrow \frac{21}{n}=a+2$$ $$\frac{n}{21}=\frac{1}{a+2}$$ $$n=\frac{21}{a+2}$$ 則原式 $\Rightarrow$ $$a^2-2a=\frac{21}{a+2}+42$$ 同乘 $(a+2)$ （ $a\neq -2$ ） $$a^3+2a^2-2a^2-4a=21+42a+84$$ $$a^3-46a-105=0$$ 由一次因式檢驗法 $a=\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 7$ ... 代入
得 $a= -5$ 使得 $-125+230-105=0$

故原式 $=(a+5)(a^2-5a-21)=0$ $$\Rightarrow a=\frac{21}{n}-2=-5$$ $$\frac{21}{n}=-3$$ $$n=-7$$

【解2：乘法公式】

$$\left (\frac{21}{n}-2\right )^2-2\left (\frac{21}{n}-2\right )=n+42$$ $$\left (\frac{21}{n}-2\right )^2-2\left (\frac{21}{n}-2\right )+1=n+42+1$$ $$\left (\frac{21}{n}-2-1\right )^2=n+43$$ $$\frac{441}{n^2}-\frac{126}{n}+9=n+43$$ 同乘 $n^2$ （ $n\neq 0$）
$$441-126n + 9n^2 = n^3 + 43n^2$$ $$n^3 + 34n^2 + 126n - 441=0$$ 由一次因式檢驗法 $(n\pm 1), (n\pm 3), (n \pm 7)$ ... 綜合除法除之
得 $(n+7)$ 為因式 $$\Rightarrow(n+7)(n^2+27n-63)=0$$ $$n=-7$$

【解3：乘法公式 + 因倍數思考】

$$\left (\frac{21}{n}-2\right )^2-2\left (\frac{21}{n}-2\right )=n+42$$ $$\left (\frac{21}{n}-2\right )^2-2\left (\frac{21}{n}-2\right )+1=n+42+1$$ $$\left (\frac{21}{n}-2-1\right )^2=n+43\in\mathbb{N}$$ $$\Rightarrow \frac{21}{n}-3\in\mathbb{Z}$$ 故 n 為 21 的因數，且 $(n+43)$ 為完全平方數
檢驗 $n=\pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 21$

得 $-7+43=36$

故 $n=-7$