$\left (\frac{21}{n}-2\right )^2-2\left (\frac{21}{n}-2\right )=n+42$ 之解

n 為整數且滿足 $\left (\frac{21}{n}-2\right )^2-2\left (\frac{21}{n}-2\right )=n+42$
試求 n 之值？

【解1：換元】

令 $\frac{21}{n}-2 =a$
\[\Rightarrow \frac{21}{n}=a+2\] \[\frac{n}{21}=\frac{1}{a+2}\] \[n=\frac{21}{a+2}\] 則原式 $\Rightarrow$ \[a^2-2a=\frac{21}{a+2}+42\] 同乘 $(a+2)$ （ $a\neq -2$ ） \[a^3+2a^2-2a^2-4a=21+42a+84\] \[a^3-46a-105=0\] 由一次因式檢驗法 $a=\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 7$ ... 代入
得 $a= -5$ 使得 $-125+230-105=0$

故原式 $=(a+5)(a^2-5a-21)=0$ \[\Rightarrow a=\frac{21}{n}-2=-5\] \[\frac{21}{n}=-3\] \[n=-7\]

【解2：乘法公式】

\[\left (\frac{21}{n}-2\right )^2-2\left (\frac{21}{n}-2\right )=n+42\] \[\left (\frac{21}{n}-2\right )^2-2\left (\frac{21}{n}-2\right )+1=n+42+1\] \[\left (\frac{21}{n}-2-1\right )^2=n+43\] \[\frac{441}{n^2}-\frac{126}{n}+9=n+43\] 同乘 $n^2$ （ $n\neq 0$）
\[441-126n + 9n^2 = n^3 + 43n^2\] \[n^3 + 34n^2 + 126n - 441=0\] 由一次因式檢驗法 $(n\pm 1), (n\pm 3), (n \pm 7)$ ... 綜合除法除之
得 $(n+7)$ 為因式 \[\Rightarrow(n+7)(n^2+27n-63)=0\] \[n=-7\]

【解3：乘法公式 + 因倍數思考】

\[\left (\frac{21}{n}-2\right )^2-2\left (\frac{21}{n}-2\right )=n+42\] \[\left (\frac{21}{n}-2\right )^2-2\left (\frac{21}{n}-2\right )+1=n+42+1\] \[\left (\frac{21}{n}-2-1\right )^2=n+43\in\mathbb{N}\] \[\Rightarrow \frac{21}{n}-3\in\mathbb{Z}\] 故 n 為 21 的因數，且 $(n+43)$ 為完全平方數
檢驗 $n=\pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 21$

得 $-7+43=36$

故 $n=-7$