2016/12/9

(21n2)22(21n2)=n+42 之解

n 為整數且滿足 (21n2)22(21n2)=n+42
試求 n 之值?

【解1:換元】

21n2=a
21n=a+2

n21=1a+2
n=21a+2
則原式 a22a=21a+2+42
同乘 (a+2)a2a3+2a22a24a=21+42a+84
a346a105=0
由一次因式檢驗法 a=±1,±3,±5,±7 ... 代入
a=5 使得 125+230105=0

故原式 =(a+5)(a25a21)=0 a=21n2=5

21n=3
n=7

【解2:乘法公式】

(21n2)22(21n2)=n+42

(21n2)22(21n2)+1=n+42+1
(21n21)2=n+43
441n2126n+9=n+43
同乘 n2n0
441126n+9n2=n3+43n2
n3+34n2+126n441=0
由一次因式檢驗法 (n±1),(n±3),(n±7) ... 綜合除法除之
(n+7) 為因式 (n+7)(n2+27n63)=0
n=7

【解3:乘法公式 + 因倍數思考】

(21n2)22(21n2)=n+42

(21n2)22(21n2)+1=n+42+1
(21n21)2=n+43N
21n3Z
故 n 為 21 的因數,且 (n+43) 為完全平方數
檢驗 n=±1,±3,±7,±21

7+43=36

n=7

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