長方形內切兩個外切的圓與兩圓半徑之和

艾瑪在整理房間，她將兩個圓桶收在長方體紙箱中，如果從上往下看的俯視圖，恰好是兩個圓形相外切，並內切於長方形內，已知紙箱的底部是長27公分、寬24公分的矩形，求兩個圓桶底面的圓半徑之和是多少公分。

【解】

分別過兩圓心作與矩形長與寬平行的直線，
如圖，設兩圓半徑分別為 $r_1$ 和 $r_2$，則
矩形 27 的長被分成 $r_1$ 、 $r_2$、 $27-\left (r_1+r_2\right )$
24 的寬被分成 $r_1$ 、 $r_2$ 、 $24-\left (r_1+r_2\right )$

則在中間以連心線為斜邊的直角三角形有畢氏定理，設 $x=r_1+r_2$ $$\left [24-\left (r_1+r_2\right )\right ]^2+\left [27-\left (r_1+r_2\right )\right ]^2=\left (r_1+r_2\right )^2$$ $$\left (24-x\right )^2+\left (27-x\right )^2=x^2$$ $$576-48x+x^2+729-54x+x^2=x^2$$ $$x^2-102x+1305=0$$ $$(x-15)(x-87)=0$$ $x=15, 87$ （87>24 不合），得兩半徑之和 $r_1+r_2=15$

【思考】

內部兩圓的大小不會是固定的，兩者之間有其消長，一圓變大時另一圓就會變小，而連心線長都會維持不變，所以半徑之和為一個固定值，以此連心線長為直徑的圓的大小不會改變。