三個正方形相連的角度問題

如圖，三個正方形相連，連接 $\overline{BE}$、$\overline{BF}$、$\overline{BD}$，
求 $\angle FBC+\angle DBC$ 度數為何？

【相似形解法】

設正方形邊長為 1

在 $\bigtriangleup EFB$ 和 $\bigtriangleup EBD$ 中
\[\left\{\begin{matrix} \overline{EF}=1\\ \overline{FB}=\sqrt{2^2 + 1^2}=\sqrt{5}\\ \overline{BE}=\sqrt{1^2 + 1^2}=\sqrt{2} \end{matrix}\right.\] \[\left\{\begin{matrix} \overline{EB}=\sqrt{1^2 + 1^2}=\sqrt{2}\\ \overline{BD}=\sqrt{3^2 + 1^2}=\sqrt{10}\\ \overline{DE}=2 \end{matrix}\right.\] $\because 1:\sqrt{5}:\sqrt{2}=\sqrt{2}:\sqrt{10}:2$
$\therefore \overline{EF}:\overline{FB}:\overline{BE}=\overline{EB}:\overline{BD}:\overline{DE}$

$\Rightarrow \bigtriangleup EFB\sim\bigtriangleup EBD(SSS)$

得 $\angle EBF=\angle EDB$，
又 $\angle EDB=\angle DBC$ ($\overline{AD}\parallel\overline{BC}$ 內錯角相等)

所求 $\angle FBC+\angle DBC=\angle FBC+\angle EBF=\angle EBC=45^{\circ}$

【切割填補解法】

如圖，作 GIJH 與 HJKC 兩正方形

$\Rightarrow \bigtriangleup FBH\cong\bigtriangleup KFJ$、$\bigtriangleup DBC\cong\bigtriangleup KBC$
$\overline{FB}=\overline{KF}$
$\angle KFB=\angle BFH+\angle KFJ=\angle BFH+\angle FBH=90^{\circ}$

$\Rightarrow \bigtriangleup KFB$ 是等腰直角三角形

所求 $\angle FBC+\angle DBC=\angle FBC+\angle KBC=\angle FBK=45^{\circ}$