商數與餘數相同

某正整數除以 14 得到的商數和餘數相同，而且該數除以 35 得到的商數與餘數也相同，求該正整數最小為多少？

【解】

設被除數為 x，除以 14 得商數 a 和餘數 a，除以 35 得商數 b 與餘數 b。

$$\left\{\begin{matrix} x\div 14 = a ... a\\ x\div 35 = b ... b \end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=14a+a=15a\\ x=35b+b=36b \end{matrix}\right.$$ 得 x 為 15 和 36 的公倍數，最小公倍數為 $[15, 36]=180$，該正整數最小為 180

【思考】

這題不難但頗有趣的是，大部份的學生都會卡在 14 和 35 的因倍數中。這題的兩個關鍵是：

(1) 除法原理的列式
(2) 因倍數的討論需建立在整除的情況下

由於某數除以 14 和 35 都有餘數，所以應該轉化一下想法。