等腰三角形底邊某點的分線段乘積

已知等腰三角形 ABC 中， $\overline{AB}=\overline{AC}=6$ ，
底邊 $\overline{BC}$ 上有一點 D，且 $\overline{AD}=4$，
求 $\overline{BD}\times\overline{CD}$

【畢氏定理與乘法公式解法】

如圖，作底邊上的高 $\overline{AM}\perp\overline{BC}$，
令 $\overline{AM}=h $， $\overline{BM}=\overline{CM}=x$ ， $\overline{DM}=y$

則在 $\bigtriangleup ACM$ 和 $\bigtriangleup ADM$ 中，由畢氏定理有： \[\left\{\begin{matrix} x^2+h^2=6^2 \\ y^2+h^2=4^2 \end{matrix}\right.\] 兩式相減得 \[x^2-y^2=6^2-4^2\] \[\Rightarrow (x+y)(x-y)=20\] 又所求 $\overline{BD}\times\overline{CD}$
$=(\overline{BM}-\overline{DM})\times(\overline{CM}+\overline{DM})$
$=(x+y)(x-y)=20$

【外接圓相似與內冪解法】

作 $\bigtriangleup ABC$ 的外接圓，延長 $\overleftrightarrow{AD}$ 交圓與 E 點

在 $\bigtriangleup ABD$ 和 $\bigtriangleup AEB$ 中
$\angle BAD=\angle EAB$ (共用)
$\angle ABD=\angle ACD=\frac{1}{2}\overparen{AB}=\angle AEB$
$\Rightarrow \bigtriangleup ABD\sim\bigtriangleup AEB \;(AA)$

\[\Rightarrow\overline{AB}:\overline{AE}=\overline{AD}:\overline{AB}\] \[6:\overline{AE}=4:6\] \[\Rightarrow\overline{AE}=9\;,\;\,\overline{ED}=9-4=5\] 由圓冪定理之內冪性質得：
所求 $\overline{BD}\times\overline{CD}=\overline{AD}\times\overline{ED}=4\times 5=20$