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2016/11/10

等腰三角形底邊某點的分線段乘積

已知等腰三角形 ABC 中, ¯AB=¯AC=6
底邊 ¯BC 上有一點 D,且 ¯AD=4
¯BDׯCD

【畢氏定理與乘法公式解法】

如圖,作底邊上的高 ¯AM¯BC
¯AM=h¯BM=¯CM=x¯DM=y

則在 ACMADM 中,由畢氏定理有: {x2+h2=62y2+h2=42 兩式相減得 x2y2=6242 (x+y)(xy)=20 又所求 ¯BDׯCD
=(¯BM¯DM)×(¯CM+¯DM)
=(x+y)(xy)=20

【外接圓相似與內冪解法】

ABC 的外接圓,延長 AD 交圓與 E 點

ABDAEB
BAD=EAB (共用)
ABD=ACD=12AB=AEB
⇒△ABD∼△AEB(AA)

¯AB:¯AE=¯AD:¯AB 6:¯AE=4:6 ¯AE=9,¯ED=94=5 由圓冪定理之內冪性質得:
所求 ¯BDׯCD=¯ADׯED=4×5=20

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