等腰三角形內與兩腰相切的半圓

如圖，等腰三角形 ABC 中，$\overline{AB}=\overline{AC}$
以底邊 $\overline{BC}$ 中點 O 為圓心，作與兩腰相切的半圓，
且 D、E 分別在兩腰上，$\overline{DE}$ 也與半圓相切，
已知 $\overline{DB}=18$ 、 $\overline{EC}=8$，

求 $\overline{BC}$ 長。

【解】
設半圓與 $\overline{AB}$、$\overline{AC}$、$\overline{DE}$ 的切點分別為 P、Q、R，
連接 $\overline{OD}$、$\overline{OE}$、$\overline{OP}$、$\overline{OQ}$、$\overline{OR}$

D、E 為圓的切線交點，
$\Rightarrow \angle PDO=\angle RDO=x$
$\angle REO=\angle QEO=y$，

$\bigtriangleup ABC$ 為等腰三角形
$\Rightarrow \angle ABC=\angle ACB=z$

在四邊形 BCED 中，內角和 $\angle DBC+ \angle BCE + \angle CED + \angle EDB=360^{\circ}$
$z+z+2y+2x=2(x+y+z)=360^{\circ}$
$\Rightarrow x+y+z=180^{\circ}$

分別在 $\bigtriangleup OEC$ 、$\bigtriangleup DOB$ 、$\bigtriangleup DEO$ 中
$$\left\{\begin{matrix} \angle COE+y+z=180^{\circ} \\ x+\angle DOB+z=180^{\circ} \\ x+y+\angle EOD=180^{\circ} \end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \angle COE=x \\ \angle DOB=y \\ \angle EOD=z \end{matrix}\right.$$

如圖，$\bigtriangleup OEC\sim\bigtriangleup DOB\sim\bigtriangleup DEO\;\;(AA)$

$\overline{EC}:\overline{CO}=\overline{OB}:\overline{BD}$
$8:\overline{CO}=\overline{OB}:18$ ，又 $\overline{OB}=\overline{OC}$

$\Rightarrow \overline{OB}=\sqrt{18\times 8}=12$
$\overline{BC}=24$