內心是對三邊作對稱後三點所成三角形的外心

I 是 $\bigtriangleup ABC$ 的內心，
若 D、E、F 分別為 I 以 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{CA}$ 為對稱軸的對稱點，

求證：I 是 $\bigtriangleup DEF$ 的外心。

【證明】

連接 $\overline{ID}$、$\overline{IE}$、$\overline{IF}$ 分別交 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{CA}$ 於 P、Q、R

$\because\;$ $\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{CA}$ 分別為 $\overline{ID}$、$\overline{IE}$、$\overline{IF}$ 的對稱軸
$\therefore\;\overline{ID}$、$\overline{IE}$、$\overline{IF}$ 分別被 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{CA}$ 垂直平分， $$\Rightarrow \overline{PD}=\overline{PI},\;\overline{QE}=\overline{QI},\;\overline{RF}=\overline{RI}$$

且 P、Q、R 為 I 在 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{CA}$ 上的垂足

又 I 為 $\bigtriangleup ABC$ 的內心，$\overline{IP}=\overline{IQ}=\overline{IR}=$ 內切圓半徑 $$\Rightarrow 2\overline{IP}=2\overline{IQ}=2\overline{IR}$$ $$\Rightarrow \overline{ID}=\overline{IE}=\overline{IF}$$ I 到 D、E、F 三點等距離，故 I 點是 $\bigtriangleup DEF$ 的外心