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2016/9/27

垂心是三邊上垂足連線三角形的內心

ABC 中,H 為垂心,¯AE¯BC¯BF¯CA¯CD¯AB,則
H 為 DEF 的內心。

【證明】

分別作以 ¯BC¯CA 為直徑的兩圓,
BDC=CFB=90 B,C,F,D 四點共圓。
CEA=ADC=90 C,A,D,E 四點共圓。

由圓周角對同一弧得:
FDC=12FC=FBC,且
EDC=12EC=EAC
FBC+ACB=EAC+ACB=90
FDC=EDC

¯DH 平分 FDE

同理,作 以 ¯AB 為直徑的圓,
AFB=BEA=90 A,B,E,F 四點共圓。

由圓周角對同一弧得:
DFB=12DB=DCB,且
EFB=12EB=EAB
DCB+ABC=EAB+ABC=90
DFB=EFB

¯FH 平分 DFE

得 H 是 DEF 內角平分線的交點,故 H 是 DEF 的內心。

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