垂心是三邊上垂足連線三角形的內心

$\bigtriangleup ABC$ 中，H 為垂心，$\overline{AE}\perp\overline{BC}$，$\overline{BF}\perp\overline{CA}$，$\overline{CD}\perp\overline{AB}$，則
H 為 $\bigtriangleup DEF$ 的內心。

【證明】

分別作以 $\overline{BC}$ 和 $\overline{CA}$ 為直徑的兩圓，
$\angle BDC=\angle CFB=90^{\circ}$ ， $\Rightarrow$ B,C,F,D 四點共圓。
$\angle CEA=\angle ADC=90^{\circ}$ ， $\Rightarrow$ C,A,D,E 四點共圓。

由圓周角對同一弧得：
$\angle FDC=\frac{1}{2} \overparen{FC}=\angle FBC$，且
$\angle EDC=\frac{1}{2} \overparen{EC}=\angle EAC$
又 $\angle FBC+\angle ACB=\angle EAC+\angle ACB=90^{\circ}$
\[\Rightarrow \angle FDC=\angle EDC\]

$\overline{DH}$ 平分 $\angle FDE$

同理，作 以 $\overline{AB}$ 為直徑的圓，
$\angle AFB=\angle BEA=90^{\circ}$ ， $\Rightarrow$ A,B,E,F 四點共圓。

由圓周角對同一弧得：
$\angle DFB=\frac{1}{2} \overparen{DB}=\angle DCB$，且
$\angle EFB=\frac{1}{2} \overparen{EB}=\angle EAB$
又 $\angle DCB+\angle ABC=\angle EAB+\angle ABC=90^{\circ}$
\[\Rightarrow \angle DFB=\angle EFB\]

$\overline{FH}$ 平分 $\angle DFE$

得 H 是 $\bigtriangleup DEF$ 內角平分線的交點，故 H 是 $\bigtriangleup DEF$ 的內心。