內心是對三邊作對稱後三點所成三角形的外心

I 是 $\bigtriangleup ABC$ 的內心，
若 D、E、F 分別為 I 以 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{CA}$ 為對稱軸的對稱點，

求證：I 是 $\bigtriangleup DEF$ 的外心。

邊長連續三整數，最大角是最小角的兩倍

$\bigtriangleup ABC$ 三邊為連續正整數，如圖：
$\overline{BC}=x$ ， $\overline{AB}=x+1$ ， $\overline{CA}=x+2$，
且 $\angle B=2 \angle A$，求三邊長。

連續三邊等長的圓內接六邊形之對角線問題

如圖，ABCDEF 是圓內接六邊形，
已知 $\overline{AF}=\overline{FE}=\overline{ED}=3$ ，
$\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=5$ ，

求 對角線 $\overline{AD}$ 長。

菱形旋轉重疊面積問題

對角線長 20 和 30 的菱形，以對角線交點的中心為圓心旋轉 $90^{\circ}$，如圖，

求凸出去的陰影面積為多少平方單位？

$ 2001^{2001} + 2003^{2003} $ 被 4004 整除

求證：$ 2001^{2001} + 2003^{2003} $ 能被 4004 整除。

平面上與斜直線和兩軸相切的圓

直角座標平面上有直線 $L: 3x+4y=12$，求：

與 L、x 軸、y 軸相切的圓之圓心座標。

已知內部一點到三頂點的距離，求正方形面積

正方形 ABCD 內有一點 P，已知 $\overline{PA}=1$ ，$\overline{PB}=5$ ，$\overline{PC}=7$ ，

求正方形 ABCD 的面積。

雨天與晴天的工程問題

甲乙兩人各做一件工程，如果全是晴天，甲需要 12 天可完成，乙需要 15 天可完成。已知雨天時甲的工作效率比晴天減少 40% ，乙減少 10% 。

若兩人同時開工，恰好同時結束，請問這段時間內有幾天是雨天？

三個正方形相連的角度問題

如圖，三個正方形相連，連接 $\overline{BE}$、$\overline{BF}$、$\overline{BD}$，
求 $\angle FBC+\angle DBC$ 度數為何？

給物使成為兩倍

甲、乙、丙三箱內共有小球384個，先由甲箱取出若干個放進乙箱、丙箱內，所放之數量分別為乙、丙原有之數；再來從乙箱取出若干個放進甲、丙二箱內，使甲、丙的球數成為原來的兩倍；最後由丙箱取出若干個放進甲、乙二箱內，放法同前，結果三箱內小球個數恰好相等。

問甲、乙、丙箱內原有小球各多少個？

兩圓交於兩點，割線為另一圓的切線之問題

有兩圓 $O_1$、$O_2$ 相交於 A、B 兩點，
若 $\overline{DE}$ 切圓 $O_1$ 於 A 點，$\overline{BE}$ 切圓 $O_2$ 於 B 點，
已知 $\overline{ED}=27$，$\overline{EC}=8$，

問圓 $O_1$ 與圓 $O_2$ 的半徑比值為何？