六水瓶重量問題

有 6 瓶裝滿水的水瓶，分別裝著三種水：糖水、鹽水、純水，
一瓶只裝一種水，但是從外觀上無法知道內容物為何，已知：

[1] 六瓶的重量分別為 15公斤、16公斤、18公斤、19公斤、20公斤、31公斤
[2] 糖水總重是純水的一半
[3] 鹽水只有1瓶

問：
(1) 鹽水重多少公斤？
(2) 18公斤的水瓶裝著哪一種水？

相交弦與圓上點到弦的距離比

圓上有 4 點 A、B、C、D，且 $\overline{AC}$ 與 $\overline{BD}$ 交於 E 點，$\overline{AB}=2$、$\overline{AC}=9$、$\overline{BD}=8$、$\overline{CD}=4$，分別以 A、D 兩點為圓心作與 $\overline{BC}$ 相切的兩圓，問半徑比 $R_A : R_D$ 為多少。

等腰三角形底邊某點的分線段乘積

已知等腰三角形 ABC 中， $\overline{AB}=\overline{AC}=6$ ，
底邊 $\overline{BC}$ 上有一點 D，且 $\overline{AD}=4$，
求 $\overline{BD}\times\overline{CD}$

$x^3+y^3$ 與 $(x+y)(x+1)(y+1)$

已知 $x$，$y$ 兩實數滿足 $x^3+y^3=1957$，
而且也滿足 $(x+y)(x+1)(y+1)=2014$，

求 $x+y$ 的值。

內心是對三邊作對稱後三點所成三角形的外心

I 是 $\bigtriangleup ABC$ 的內心，
若 D、E、F 分別為 I 以 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{CA}$ 為對稱軸的對稱點，

求證：I 是 $\bigtriangleup DEF$ 的外心。

邊長連續三整數，最大角是最小角的兩倍

$\bigtriangleup ABC$ 三邊為連續正整數，如圖：
$\overline{BC}=x$ ， $\overline{AB}=x+1$ ， $\overline{CA}=x+2$，
且 $\angle B=2 \angle A$，求三邊長。

連續三邊等長的圓內接六邊形之對角線問題

如圖，ABCDEF 是圓內接六邊形，
已知 $\overline{AF}=\overline{FE}=\overline{ED}=3$ ，
$\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=5$ ，

求 對角線 $\overline{AD}$ 長。