共邊兩三角形之中點連線四邊形面積

如圖，$\bigtriangleup ABC$ 和 $\bigtriangleup DBC$ 的面積分別為 M 和 m，
且P、Q、R、S 分別為 $\overline{AB}$、$\overline{DB}$、$\overline{DC}$、$\overline{AC}$ 的中點，

(1) 求證 PQRS 是平行四邊形
(2) 求 PQRS 的面積。

【解】

(1)

在 $\bigtriangleup ABC$ 中，P、S 是兩邊中點，則
$\overline{PS} // \overline{BC}$ 且 $\overline{PS}= \frac{1}{2}\overline{BC}$

同理，$\overline{QR} // \overline{BC}$ 且 $\overline{QR}= \frac{1}{2}\overline{BC}$

得 $\overline{PS} // \overline{QR}$ 且 $\overline{PS}=\overline{QR}$
由於一組對邊平行且相等， PQRS 為平行四邊形。

【解1】

設 $\overline{AC}$ 與 $\overline{DB}$ 交於 E 點，並連接 $\overline{AD}$

(i)

$$\bigtriangleup ABC - \bigtriangleup DBC$$ $$= ( \bigtriangleup EAB + \bigtriangleup EBC ) - (\bigtriangleup EDC + \bigtriangleup EBC)$$ $$= \bigtriangleup EAB - \bigtriangleup EDC$$ $$= ( \bigtriangleup EAB + \bigtriangleup EAD ) - (\bigtriangleup EDC + \bigtriangleup EAD)$$ $$= \bigtriangleup BAD - \bigtriangleup CAD$$ $$= M - m$$

(ii)

$\because$ P、Q、R、S 分別為 $\overline{AB}$、$\overline{DB}$、$\overline{DC}$、$\overline{AC}$ 的中點，

$$\therefore PBCS = \frac{3}{4}\bigtriangleup ABC\;\; ， \;\;\bigtriangleup CSR = \frac{1}{4}\bigtriangleup CAD$$ $$\bigtriangleup BPQ = \frac{1}{4}\bigtriangleup BAD \;\; ， \;\; QRCB = \frac{3}{4}\bigtriangleup DBC$$

由 (i) 和 (ii) 得 PQRS 面積 $$= ABCD - \bigtriangleup APS - RSAD - \bigtriangleup BPQ - QRCB$$ $$= PBCS + \bigtriangleup CSR - \bigtriangleup BPQ - QRCB$$ $$= \frac{3}{4}\bigtriangleup ABC + \frac{1}{4}\bigtriangleup CAD - \frac{1}{4}\bigtriangleup BAD - \frac{3}{4}\bigtriangleup DBC$$ $$= \frac{3}{4}(\bigtriangleup ABC - \bigtriangleup DBC) - \frac{1}{4}(\bigtriangleup BAD - \bigtriangleup CAD)$$ $$= \frac{3}{4}(M - m) - \frac{1}{4}(M-m)$$ $$=\frac{1}{2}(M-m)$$

【解2】

作 $\overline{AI}\perp\overleftrightarrow{BC}$ 交 $\overline{PS}$ 和 $\overline{QR}$ 於 F，G 兩點，作 $\overline{DJ}\perp\overleftrightarrow{BC}$

設 $\overline{AI}=h_1$， $\overline{DJ}=h_2$

P、Q、R、S 分別為 $\overline{AB}$、$\overline{DB}$、$\overline{DC}$、$\overline{AC}$ 的中點 $$\Rightarrow \overline{FI}=\frac{1}{2}h_1 \;\;\;， \overline{GI}=\frac{1}{2}h_2\;\;\;， \overline{QR}=\frac{1}{2}\overline{BC}$$

$$PQRS 面積 = \overline{QR}\times\overline{FG}$$ $$=\frac{1}{2}\overline{BC}\times (\overline{FI}-\overline{GI})$$ $$=\frac{1}{2}\overline{BC}\times \frac{1}{2}(h_1 - h_2)$$ $$=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}\overline{BC}\times h_1 - \frac{1}{2}\overline{BC}\times h_2)$$ $$=\frac{1}{2}(\bigtriangleup ABC - \bigtriangleup DBC)$$ $$=\frac{1}{2}(M - m)$$