共邊兩三角形之中點連線四邊形面積

如圖，$\bigtriangleup ABC$ 和 $\bigtriangleup DBC$ 的面積分別為 M 和 m，
且P、Q、R、S 分別為 $\overline{AB}$、$\overline{DB}$、$\overline{DC}$、$\overline{AC}$ 的中點，

(1) 求證 PQRS 是平行四邊形
(2) 求 PQRS 的面積。

一股與斜邊為位數對調的直角三角形

某直角三角形的三邊長皆為二位數整數，而且其中一股與斜邊恰好是十位數與個位數對調的兩數

求三邊長。

45度內角與垂足分線段求面積

如圖， $\angle BAC=45^{\circ}$，且 $\overline{AD}\perp\overline{BC}$，
$\overline{DB}=3$，$\overline{DC}=2$，

求 $\bigtriangleup ABC$ 之面積。

a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) = 1

已知 $a$、$b$、$c$ 三數為實數，且
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1$，求

$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}$ 之值。

半圓內相等的圓周角問題

如圖，半圓中 O 為圓心，C 點在直徑 $\overline{AB}$ 上，D、E 在圓上
$\angle DOA=40^{\circ}$ ， $\angle CDO=\angle CEO=15^{\circ}$ ，
求 $\overparen{BE}$

乘積整除平方和

(1) 求證：有理數 $x$ 與 $x$ 的倒數之和為整數，則 $x=\pm 1$

(2) $a$、$b$ 是兩個 1 到 9 的整數，而且 $ab$ 整除 $a^2+b^2$，
求 $10a+b$ 被 11 除的餘數。

等腰三角形內與兩腰相切的半圓

如圖，等腰三角形 ABC 中，$\overline{AB}=\overline{AC}$
以底邊 $\overline{BC}$ 中點 O 為圓心，作與兩腰相切的半圓，
且 D、E 分別在兩腰上，$\overline{DE}$ 也與半圓相切，
已知 $\overline{DB}=18$ 、 $\overline{EC}=8$，

求 $\overline{BC}$ 長。