45度內角與垂足分線段求面積

如圖， $\angle BAC=45^{\circ}$，且 $\overline{AD}\perp\overline{BC}$，
$\overline{DB}=3$，$\overline{DC}=2$，

求 $\bigtriangleup ABC$ 之面積。

【解】

作 $\bigtriangleup ABC$ 的外心 O 點，並連接 $\overline{OA},\;\overline{OB},\;\overline{OC}$，並作 $\overline{OM}\perp\overline{BC}$ 與 $\overline{OE}\perp\overline{AD}$

則 $\angle BOC=\overparen{BC}=2\angle BAC=90^{\circ}$
又 M 是 $\overline{BC}$ 中點，M 是 $\bigtriangleup OBC$ 的外心
$\overline{MO}=\overline{MB}=\overline{MC}=\frac{5}{2}$

又 $\overline{OB}=\overline{OC}$，$\bigtriangleup OBC$ 是等腰直角三角形
$\Rightarrow \;\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}=\frac{1}{\sqrt{2}}\overline{BC}=\frac{5}{\sqrt{2}}$
$\overline{OE}=\overline{MD}=\overline{MC}-\overline{DC}=\frac{5}{2}-2=\frac{1}{2}$

在 $\bigtriangleup AOE$ 中 $$\overline{AE}=\sqrt{\overline{OA}^2-\overline{OE}^2}$$ $$=\sqrt{\frac{25}{2}-\frac{1}{4}}$$ $$=\sqrt{\frac{49}{4}}=\frac{7}{2}$$

$$\Rightarrow\overline{AD}=\overline{AE}+\overline{ED}=\frac{7}{2}+\frac{5}{2}=6$$

$$\bigtriangleup ABC=\frac{1}{2}\overline{BC}\times\overline{AD}=15$$