一股與斜邊為位數對調的直角三角形

某直角三角形的三邊長皆為二位數整數，而且其中一股與斜邊恰好是十位數與個位數對調的兩數

求三邊長。

【解】

設斜邊長的個位數字為 $x$，十位數字為 $y$，則斜邊長為 $x+10y$
位數對調的一股長為 $10x+y$，剩下那一股為 $a$

由畢氏定理得 $$a^2+(10x+y)^2=(x+10y)^2$$ $$a^2+100x^2+20xy+y^2=x^2+20xy+100y^2$$ $$a^2=-99x^2+99y^2$$ $$a^2=99(y^2-x^2)$$ $$a^2=3^2 \times 11\times (y+x)(y-x)$$ $\because a,x,y\in\mathbb{Z}$
$\therefore (y+x)(y-x)$ 要含有一個因數 11，可為 $11\times 1^2$、$11\times 2^2$、$11\times 3^2$ …

可能組合有 $(y+x)(y-x)=11\times 1^2=11=11\times 1$
或 $(y+x)(y-x)=11\times 2^2=44=44\times 1=22\times 2=11\times 4$
或 $(y+x)(y-x)=11\times 3^2=99=99\times 1=33\times 3=11\times 9$ …

但 $x, y$ 皆為 0 到 9 的整數，$y+x<9+9=18$，而且為了解聯立使得 $a\in\mathbb{Z}$，故 $(y+x)$ 與 $(y-x)$ 的奇偶性必須相同

得只有 $11\times 1$ 這一組 $$\left\{\begin{matrix} y+x=11\\ y-x=1 \end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow y=6,\;x=5,\;a=\sqrt{3^2\times 11^2}=33$$ 得三邊長分別為 33、56、65